Τομή συνόλων

Στην θεωρία συνόλων, η τομή δύο συνόλων $A$ και $B$ ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων $A$ και $B$.

Διάγραμμα Βενν τομής δύο συνόλων.

Η τομή των $A$ και $B$ συμβολίζεται με $A\cap B$ και ορίζεται ως:

$A\cap B=\{x:x\in A$ και $x\in B\}$.

Για παράδειγμα:

• Αν $A=\{1,2,3,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ και $B=\{1,3,4,5,6,\alpha ,\gamma \}$ είναι $A\cap B=\{1,3,\alpha ,\gamma \}$.
• Αν $A=\{1,2,3,4\}$ και $B=\{5,6,\alpha ,\gamma \}$ είναι $A\cap B=\varnothing$ όπου $\varnothing$ είναι το κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία.

Για δύο σύνολα $A$ και $B$ χωρίς κοινά στοιχεία, δηλαδή με $A\cap B=\varnothing$, λέμε ότι είναι ξένα μεταξύ τους.

Ιδιότητες

Η τομή συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου $A,B,\Gamma \subseteq \Omega$ και $\varnothing$ είναι το κενό σύνολο)

• $A\cap A=A$ (ανακλαστική ιδιότητα)
• $A\cap \Omega =A$
• $A\cap A^{c}=\varnothing$
• $A\cap B=B\cap A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
• $A\cap (B\cap \Gamma )=(A\cap B)\cap \Gamma$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
• $A\cap B\subseteq A$ και $A\cap B\subseteq B$
• $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A$
• $A\subseteq B\Rightarrow A\cap \Gamma \subseteq B\cap \Gamma$

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

• $A\cup (B\cap \Gamma )=(A\cup B)\cap (A\cup \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
• $A\cap (B\cup \Gamma )=(A\cap B)\cup (A\cap \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
• $A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A$ (ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων
• Ένωση συνόλων