Αρνητική διωνυμική κατανομή
Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας μέχρι να έχουμε επιτυχίες.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/el/thumb/7/73/Negative_binomial_distribution_examples.svg/400px-Negative_binomial_distribution_examples.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/el/thumb/6/68/Cdf_negative_binomial_distribution_examples.svg/400px-Cdf_negative_binomial_distribution_examples.svg.png)
Συμβολισμός | |
Παράμετροι | (πλήθος επιτυχιών), (πιθανότητα επιτυχίας) |
Φορέας | |
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας |
|
Μέσος | |
Διάμεσος | ή |
Διακύμανση | |
Λοξότητα | |
Κύρτωση | |
Πιθανογεννήτρια | για |
Χαρακτηριστική | για |
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών. Συνολικά επαναλαμβάνουμε το πείραμα φορές, από τις οποίες η τελευταία είναι επιτυχία. Η πιθανότητα έως ότου να έχουμε επιτυχίες να έχουμε αποτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας κάθε φορά είναι:[1][2][3]
- .
Ορισμός
ΕπεξεργασίαΩς άθροισμα γεωμετρικών κατανομών
ΕπεξεργασίαΈστω ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή . Τότε, αφού η γεωμετρική κατανομή μετράει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα πείραμα μέχρι μία επιτυχία, έχουμε ότι
Μέση τιμή
ΕπεξεργασίαΗ μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή:
χρησιμοποιώντας ότι .
Διακύμανση
ΕπεξεργασίαΑντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι:
- .
Πιθανογεννήτρια συνάρτηση
ΕπεξεργασίαΧρησιμοποιώντας ότι , για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:
αφού για από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.
Χαρακτηριστική συνάρτηση
ΕπεξεργασίαΧρησιμοποιώντας ότι , για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:
αφού για από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Ζιούτας, Γεώργιος. «Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή» (PDF). Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.
- ↑ Κουτρας, Μαρκος. «Πιαθνότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.
- ↑ Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές Ειδικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.