Αρχαία Αιγυπτιακά μαθηματικά

Τα αρχαία αιγυπτιακά μαθηματικά είναι τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν στην Αρχαία Αίγυπτο μεταξύ περίπου 3000 και 300 π.Χ., από το Παλαιό Βασίλειο της Αιγύπτου έως περίπου την αρχή της Ελληνιστικής Αιγύπτου . Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποίησαν ένα αριθμητικό σύστημα για τη μέτρηση και την επίλυση γραπτών μαθηματικών προβλημάτων, που συχνά περιλαμβάνουν πολλαπλασιασμό και κλάσματα . Τα αποδεικτικά στοιχεία για τα αιγυπτιακά μαθηματικά περιορίζονται σε μια σπάνια ποσότητα επιζώντων πηγών γραμμένων στον πάπυρο . Από αυτά τα κείμενα είναι γνωστό ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι κατανοούσαν έννοιες της γεωμετρίας, όπως τον προσδιορισμό της επιφάνειας και του όγκου των τρισδιάστατων σχημάτων χρήσιμων για την αρχιτεκτονική μηχανική καθώς και έννοιες της άλγεβρας, όπως η μέθοδος ψευδούς θέσης (Regula falsi, μέθοδος επίλυσης γραμμικών εξισώσεων δια δοκιμής και σφάλματος) και οι τετραγωνικές εξισώσεις .

ΕισαγωγήΕπεξεργασία

Οι γραπτές αποδείξεις για τη χρήση των μαθηματικών χρονολογούνται τουλάχιστον στο 3200 π.Χ. με τις ετικέτες ελεφαντόδοντου που βρέθηκαν στον Τάφο U-j στην Άβυδο . Αυτές οι ετικέτες φαίνεται να έχουν χρησιμοποιηθεί για τη ταυτοποίηση ταφικών αντικειμένων και ορισμένα είναι χαραγμένα με αριθμούς. [1] Περαιτέρω στοιχεία σχετικά με τη χρήση του συστήματος αριθμού βάσης 10 μπορεί να βρεθεί στο Narmer Macehead που απεικονίζει προσφορές 400.000 βοδιών, 1.422.000 αιγών και 120.000 κρατουμένων. [2]

Τα αποδεικτικά στοιχεία για τη χρήση των μαθηματικών στο Παλαιό Βασίλειο (περ. 2690-2180 π.Χ.) είναι λιγοστά, αλλά μπορούν να συναχθούν από επιγραφές σε έναν τοίχο κοντά σε ένα μασταμπά στο Mεϊντούμ που δίνει οδηγίες για την πλαγιά του μασταμπά. [3] Οι γραμμές στο διάγραμμα απέχουν μεταξύ τους σύμφωνα με μια μονάδας μέτρησης που ήταν σε χρήση εκείνη την εποχή. [1]

Τα πρώτα αληθινά μαθηματικά έγγραφα χρονολογούνται στη 12η Δυναστεία (περίπου 1990-1800 π.Χ.). Ο Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας, το Αιγυπτιακό Μαθηματικό Δερμάτινο Ρολό, o Μαθηματικός Πάπυρος Lahun που αποτελούν μέρος της πολύ μεγαλύτερης συλλογής Kahun Παπύρων καθώς και ο Πάπυρος του Βερολίνου 6619 χρονολογούνται σε αυτήν την περίοδο. Ο Μαθηματικός Πάπυρος Rhind που χρονολογείται στη δεύτερη μεταβατική περίοδο (περίπου 1650 π.Χ.) λέγεται ότι βασίζεται σε ένα παλαιότερο μαθηματικό κείμενο της 12ης δυναστείας. [4]

Ο μαθηματικός πάπυρος της Μόσχας και ο μαθηματικός πάπυρος Rhind αποτελούν κείμενα μαθηματικών προβλημάτων. Αποτελούνται από μια συλλογή προβλημάτων με λύσεις. Αυτά τα κείμενα μπορεί να έχουν γραφτεί από έναν δάσκαλο ή έναν μαθητή που ασχολούνταν με την επίλυση τυπικών μαθηματικών προβλημάτων. [1]

Ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό των αρχαίων αιγυπτιακών μαθηματικών είναι η χρήση των κλασματικών μονάδων. [5] Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποίησαν κάποια ειδική σημειογραφία για κλάσματα όπως   και   και σε ορισμένα κείμενα για  , αλλά άλλα κλάσματα γράφτηκαν όλα ως κλάσματα μονάδας της μορφής   ή ως αθροίσματα τέτοιων μονάδων. Οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν πίνακες για να τους βοηθήσουν να δουλέψουν με αυτά τα κλάσματα. Το Αιγυπτιακό Μαθηματικό Δερμάτινο Ρολό για παράδειγμα είναι ένας πίνακας των κλασμάτων μονάδας που εκφράζονται ως αθροίσματα άλλων κλασμάτων μονάδας. Ο Πάπυρος Rhind και μερικά από τα άλλα κείμενα περιέχουν πίνακες του  . Αυτοί οι πίνακες επέτρεπαν στους ενδιαφερόμενους να ξαναγράφουν οποιοδήποτε κλάσμα της φόρμας   ως άθροισμα των κλασματικών μονάδων. [1]

Κατά τη διάρκεια του Νέου Βασιλείου (περ. 1550-1070 π.Χ.) τα μαθηματικά προβλήματα αναφέρονται στο λογοτεχνικό Πάπυρο Anastasi Ι, και ο Πάπυρος Wilbour από την εποχή του Ραμσή Γ' καταγράφει μετρήσεις γης. Στο εργατικό χωριό Deir el-Medina έχουν βρεθεί αρκετές οστράκες που καταγράφουν όγκους χώματος που αφαιρέθηκαν κατά την λατομεία των τάφων. [1] [4]

ΠηγέςΕπεξεργασία

Η τρέχουσα κατανόηση των αρχαίων αιγυπτιακών μαθηματικών εμποδίζεται από την έλλειψη διαθέσιμων πηγών. Οι πηγές που υπάρχουν περιλαμβάνουν τα ακόλουθα κείμενα (τα οποία γενικά χρονολογούνται στο Μέσο Βασίλειο και τη δεύτερη μεταβατική περίοδο):

Από το Νέο Βασίλειο υπάρχουν λίγα μαθηματικά κείμενα και επιγραφές που σχετίζονται με υπολογισμούς:

  • Ο Πάπυρος Αναστασι Ι, ένα λογοτεχνικό κείμενο γραμμένο ως (φανταστικό) γράμμα γραμμένο από έναν γραμματέα με το όνομα Χόρι και απευθυνόταν σε έναν γραμματέα με το όνομα Αμενεμόπη. Ένα τμήμα της επιστολής περιγράφει διάφορα μαθηματικά προβλήματα. [4]
  • Ostracon Senmut 153, ένα κείμενο γραμμένο στα ιερατικά
  • Ostracon Turin 57170, ένα κείμενο γραμμένο στα ιερατικά
  • Η Ostraca από το Deir el-Medina περιέχει υπολογισμούς. Το Ostracon IFAO 1206 για παράδειγμα δείχνει τον υπολογισμό των όγκων, που πιθανώς σχετίζεται με την εξόρυξη ενός τάφου.

ΑριθμοίΕπεξεργασία

Τα αρχαία αιγυπτιακά κείμενα θα μπορούσαν να γραφτούν είτε σε ιερογλυφικά είτε σε ιερατικά . Και στις δύο παραστάσεις το σύστημα αριθμών δόθηκε πάντα στη βάση 10. Ο αριθμός 1 απεικονίστηκε με μια απλή κάθετο, ο αριθμός 2 απεικονίστηκε με δύο τόνους κ.λπ. Οι αριθμοί 10, 100, 1000, 10.000 και 1.000.000 είχαν τα δικά τους ιερογλυφικά. Ο αριθμός 10 είναι ένα χαλινάρι για βοοειδή, ο αριθμός 100 αντιπροσωπεύεται από ένα κουλουριασμένο σχοινί, ο αριθμός 1000 αντιπροσωπεύεται από ένα λουλούδι λωτού, ο αριθμός 10.000 αντιπροσωπεύεται από ένα δάχτυλο, ο αριθμός 100.000 αντιπροσωπεύεται από έναν βάτραχο και το ένα εκατομμύριο αντιπροσωπεύεται από έναν θεό με τα χέρια του υψωμένα για λατρεία [6]

Ιερογλυφικά για αιγυπτιακούς αριθμούς [2]
1 10 100 1000 10.000 100.000 1.000.000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
 
Η στήλη της πριγκίπισσας Nεφερετιαμπέτ του Παλαιού Βασιλείου (με ημερομηνία 2590–2565 π.Χ.) από τον τάφο της στη Γκίζα, ζωγραφική σε ασβεστόλιθο, τώρα στο Λούβρο

Οι αιγυπτιακοί αριθμοί χρονολογούνται από την προδυναστική περίοδο . Οι ετικέτες Ελεφαντοστού από την Άβυδο καταγράφουν τη χρήση αυτού του συστήματος αριθμών. Είναι επίσης σύνηθες να υπάρχουν αριθμοί σε παραστάσεις προσφοράς για να υποδεικνύουν τον αριθμό των προσφερόμενων αντικειμένων. Η κόρη του βασιλιά, Νεφερετιανπέτ, εμφανίζεται με μια προσφορά 1000 βοδιών, ψωμιού, μπύρας κ.λπ.

Το αιγυπτιακό σύστημα αριθμών ήταν σωρευτικό. Οι μεγάλοι αριθμοί αντιπροσωπεύονταν από συλλογές των συμβόλων και η αξία λαμβάνονταν με απλή πρόσθεση των μεμονωμένων αριθμών μαζί.

 
Αυτή η σκηνή απεικονίζει μια καταμέτρηση βοοειδών (αντιγράφηκε από τον Αιγυπτιολόγο Lepsius). Στο κέντρο της καταγραφής βλέπουμε 835 κέρατα βοοειδών στα αριστερά, ακριβώς πίσω τους υπάρχουν περίπου 220 ζώα (αγελάδες;) και στα δεξιά 2235 κατσίκες. Στο κάτω μέρος της καταγραφής βλέπουμε 760 γαϊδούρια στα αριστερά και 974 κατσίκες στα δεξιά.

Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν σχεδόν αποκλειστικά κλάσματα του εντύπου 1/n. Μία αξιοσημείωτη εξαίρεση είναι το κλάσμα 2/3, το οποίο βρίσκεται συχνά στα μαθηματικά κείμενα. Πολύ σπάνια χρησιμοποιήθηκε ένα ειδικό σύμβολο για την ένδειξη 3/4. Το κλάσμα 1/2 παριστάθηκε από έναν σύμβολο που μπορεί να απεικονίζει ένα κομμάτι λινού διπλωμένο στα δύο. Το κλάσμα 2/3 παριστάθηκε από το σύμβολο για στόμα με 2 κάθετες (διαφορετικού μεγέθους). Τα υπόλοιπα κλάσματα αντιπροσωπεύονταν πάντα από ένα στόμα που τοποθετούνταν επάνω από έναν αριθμό. [6]

Ιερογλυφικά για ορισμένα κλάσματα [6]
         
Aa13
r
Z2
D22
r
Z1 Z1 Z1 Z1
r
Z1 Z1 Z1 Z1 Z1

Πολλαπλασιασμός και διαίρεσηΕπεξεργασία

Ο αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός γίνονταν με τον επαναλαμβανόμενο διπλασιασμό του αριθμού προς πολλαπλασιασμό και επιλέγοντας ποιοί από τους διπλασιασμούς θα προστεθούν μαζί (ουσιαστικά μια μορφή δυαδικής αριθμητικής), μια μέθοδο που συνδέεται με το Παλαιό Βασίλειο. Ο πολλαπλασιαστέος γράφονταν μετά από το σύμβολο για τον αριθμό 1. Προστίθονταν κατόπιν στον εαυτό του, και το αποτέλεσμα καταγράφονταν μετά τον αριθμό 2. Η διαδικασία συνεχίζονταν έως ότου οι διπλασιασμοί δώσουν έναν αριθμό μεγαλύτερο από το μισό του πολλαπλασιαστή . Στη συνέχεια, οι διπλασιασμένοι αριθμοί (1, 2, κ.λπ.) αφαιρούνταιν επανειλημμένα από τον πολλαπλασιαστή για να επιλεγεί το ποιά από τα αποτελέσματα των υπαρχόντων υπολογισμών θα πρέπει να προστεθούν μαζί για να δημιουργήσουν την απάντηση. [2]

Ως συντόμευση για μεγαλύτερους αριθμούς, ο πολλαπλασιαστέος μπορούσε επίσης να πολλαπλασιαστεί αμέσως με 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ.

Για παράδειγμα, το Πρόβλημα 69 στο Rhind Papyrus (RMP) παρέχει την ακόλουθη εικόνα, σαν να χρησιμοποιήθηκαν ιερογλυφικά σύμβολα (αντί για το πραγματικό ιερατικό κείμενο του RMP). [6]

Για πολλαπλασιασμό 80 × 14
Υπολογισμός της Αιγύπτου Σύγχρονος υπολογισμός
Αποτέλεσμα Πολλαπλασιαστής Αποτέλεσμα Πολλαπλασιαστής
V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 V20
Z1
80 1
V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1
V20
  800 10
V20 V20 V20
V20 V20 V20
V1
Z1 Z1
160 2
V20
V20
V1 V1
V1
Z1 Z1 Z1 Z1
  320 4
V20
V20
V1M12
Z1 Z1 Z1 Z1 V20
1120 14

ο σύνδεσμος= δηλώνει τα ενδιάμεσα αποτελέσματα που προστίθενται μαζί για να παράγουν την τελική απάντηση.

Ο παραπάνω πίνακας μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να διαιρέσει το 1120 με το 80. Θα λύναμε αυτό το πρόβλημα βρίσκοντας το πηλίκο (80) ως το άθροισμα αυτών των πολλαπλασιαστών του 80 που προστιθέμενοι δίνουν το 1120. Σε αυτό το παράδειγμα η εν λόγω διαδικασία θα έδινε το πηλίκο 10   +   4   =   14. [6] Ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα του αλγορίθμου διαίρεσης παρέχεται από το Πρόβλημα 66. Συνολικά 3200 μονάδες λίπους πρέπει να κατανεμηθούν ομοιόμορφα σε 365 ημέρες.

Διαίρεση 3200 με 365
1 365
2 730
4 1460
8 2920  
2/3 243  
1/10 36  
1/2190 1/6  

Πρώτα, αυτός που κάνει τον υπολογισμό, θα διπλασίαζε το 365 επανειλημμένα έως ότου επιτευχθεί το μεγαλύτερο δυνατό πολλαπλάσιο των 365, το οποίο είναι μικρότερο από 3200. Σε αυτήν την περίπτωση, 8 φορές το 365 είναι 2920 και η περαιτέρω προσθήκη πολλαπλών 365 θα έδινε σαφώς μια τιμή μεγαλύτερη από 3200. Στη συνέχεια σημειώνεται ότι   φορές το 365 μας δίνει την αξία των 280 που χρειαζόμαστε. Ως εκ τούτου, διαπιστώνουμε ότι διαιρούμενο το 3200 με 365 πρέπει να είναι ίσο   . [6]

ΑλγεβραΕπεξεργασία

Τα προβλήματα που επεξεργάστηκε η αιγυπτιακή άλγεβρα εμφανίζονται τόσο στον Mαθηματικό Πάπυρο Rhind όσο και στον Μαθηματικό Πάπυρο της Μόσχας, καθώς και σε πολλές άλλες πηγές. [6]

P6a
M35
Aha σε ιερογλυφικά

Τα προβλήματα Aha περιλαμβάνουν την εύρεση άγνωστων ποσοτήτων (αναφέρεται ως Aha) εάν δοθεί το άθροισμα της ποσότητας και των τμημάτων της. Ο Πάπυρος Rhind περιέχει επίσης τέσσερα από αυτά τα είδη προβλημάτων. Τα προβλήματα 1, 19 και 25 του Πάπυρου της Μόσχας είναι προβλήματα Aha. Για παράδειγμα το πρόβλημα 19 ζητά από κάποιον να υπολογίσει μια ποσότητα που λαμβάνεται 1 και 1/2 φορές και προστιθέμενη στο 4, να κάνει 10. [6] Με άλλα λόγια, στη σύγχρονη μαθηματική σημειογραφία καλείται να λύσουμε τη γραμμική εξίσωση :

 

Η επίλυση αυτών των προβλημάτων Aha περιλαμβάνει μια τεχνική που ονομάζεται Μέθοδος Ψευδούς Θέσης . Η τεχνική ονομάζεται επίσης μέθοδος ψευδούς υπόθεσης. Ο λύτης θα αντικαταστήσει μια αρχική εικασία της απάντησης στο πρόβλημα. Η λύση που χρησιμοποιεί την ψευδή υπόθεση θα ήταν ανάλογη με την πραγματική απάντηση, και ο λύτης θα βρει την απάντηση χρησιμοποιώντας αυτήν την αναλογία. [6]

Τα μαθηματικά γραπτά δείχνουν ότι οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν (ελάχιστα) κοινά πολλαπλάσια για να μετατρέψουν τα προβλήματα με τα κλάσματα σε προβλήματα χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς. Αυτή είναι η προοπτική υπό την οποία γράφονται βοηθητικοί αριθμοί με κόκκινο δίπλα στα κλάσματα. [6]

Η χρήση των κλασμάτων του οφθαλμού Horus δείχνει κάποια (στοιχειώδη) γνώση της γεωμετρικής προόδου. Η γνώση των αριθμητικών προόδων είναι επίσης εμφανής από τις μαθηματικές πηγές. [6]

Τετραγωνικές εξισώσειςΕπεξεργασία

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος πολιτισμός που ανέπτυξε και έλυσε εξισώσεις δεύτερου βαθμού ( τετραγωνικές ). Αυτή η πληροφορία βρίσκεται στον Πάπυρο του Βερολίνου Επιπλέον, οι Αιγύπτιοι επιλύουν αλγεβρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού, που βρέθηκαν στο Mαθηματικό Πάπυρο Rhind . [7]

ΓεωμετρίαΕπεξεργασία

 
Εικόνα του προβλήματος 14 από τον Μαθηματικό Πάπυρο της Μόσχας . Το πρόβλημα περιλαμβάνει ένα διάγραμμα που δείχνει τις διαστάσεις της κόλουρης πυραμίδας.

Ο αριθμός προβλημάτων από την αρχαία Αίγυπτο που αφορούν τη γεωμετρία είναι περιορισμένος. Γεωμετρικά προβλήματα εμφανίζονται τόσο στον Μαθηματικό Πάπυρο της Μόσχας (MMP) όσο και στον Μαθηματικό Πάπυρο Rhind (RMP). Τα παραδείγματα δείχνουν ότι οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι ήξεραν πώς να υπολογίζουν εμβαδά διάφορων γεωμετρικών σχημάτων και τους όγκους κυλίνδρων και πυραμίδων.

  • Εμβαδόν:
    • Τρίγωνα: Οι συγγραφείς καταγράφουν προβλήματα στον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου (RMP και MMP). [6]
    • Ορθογώνια: Προβλήματα σχετικά με το εμβαδό ενός ορθογώνιου οικοπέδου εμφανίζονται στο RMP και στο MMP. Ένα παρόμοιο πρόβλημα εμφανίζεται στον Μαθηματικό Πάπυρο Lahun στο Λονδίνο. [8] [9]
    • Κύκλοι: Το πρόβλημα 48 του RMP συγκρίνει την περιοχή ενός κύκλου (που προσεγγίζεται από ένα οκτάγωνο) και του περιγεγραμμένου τετραγώνου. Το αποτέλεσμα αυτού του προβλήματος χρησιμοποιείται στο πρόβλημα 50, όπου ο λύτης βρίσκει το εμβαδόν ενός κυκλικού πεδίου διαμέτρου 9 khet.
    • Ημισφαίριο: Το πρόβλημα 10 στο MMP βρίσκει το εμβαδόν ενός ημισφαιρίου.
  • Όγκοι:
    • Κυλινδρικές σιταποθήκες : Αρκετά προβλήματα υπολογίζουν τον όγκο κυλινδρικών σιταποθηκών (RMP 41-43), ενώ το πρόβλημα 60 RMP φαίνεται να αφορά στήλη ή κώνο αντί για πυραμίδα. Στην ενότητα IV.3 του Μαθηματικού Πάπυρου Lahun, ο όγκος σιταποθήκης με κυκλική βάση βρίσκεται χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία με το RMP 43.
    • Ορθογώνιοι σιτοβολώνες: Διάφορα προβλήματα στον Μαθηματικό Πάπυρο της Μόσχας (πρόβλημα 14) και στον Μαθηματικό Πάπυρο Rhind (αριθμοί 44, 45, 46) υπολογίζουν τον όγκο ενός ορθογώνιου σιτοβολώνα.
    • Κόλουρη πυραμίδα (frustum): Ο όγκος μιας κόλουρης πυραμίδας υπολογίζεται σε MMP 14.

Το Seqed: Αιγυπτιακό για τo αντίστροφο της κλίσηςΕπεξεργασία

Το πρόβλημα 56 του RMP δείχνει ότι υπάρχει κατανόηση της ιδέας της γεωμετρικής ομοιότητας. Αυτό το πρόβλημα ασχολείται με την αναλογία εκτέλεσης / αύξησης, επίσης γνωστή ως seqed. Ένας τέτοιος τύπος θα χρειαζόταν για την κατασκευή πυραμίδων. Στο επόμενο πρόβλημα (Πρόβλημα 57), το ύψος μιας πυραμίδας υπολογίζεται από το μήκος της βάσης και το seqed, ενώ το πρόβλημα 58 δίνει το μήκος της βάσης και το ύψος και χρησιμοποιεί αυτές τις μετρήσεις για τον υπολογισμό του seqed. Στο Πρόβλημα 59, το μέρος 1 υπολογίζει το seqed, ενώ το δεύτερο μέρος μπορεί να είναι ένας υπολογισμός για την επιβεβαίωση της απάντησης: Εάν κατασκευάσετε μια πυραμίδα με βάση 12 [cubits] και seqed ίσο με 5 [palms] παλάμες 1 δάχτυλο? Ποιο είναι το ύψος της; [6]

Βιβλιογραφικές αναφορέςΕπεξεργασία

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Imhausen, Annette (2006). «Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources». The Mathematical Intelligencer 28 (1): 19–27. doi:10.1007/bf02986998. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-305189-5. 
  3. Rossi, Corinna (2007). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-69053-9. 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. 2007. ISBN 0-691-11485-4. 
  5. Reimer, David (11 Μαΐου 2014). Count Like an Egyptian: A Hands-on Introduction to Ancient Mathematics (στα Αγγλικά). Princeton University Press. ISBN 9781400851416. 
  6. 6,00 6,01 6,02 6,03 6,04 6,05 6,06 6,07 6,08 6,09 6,10 6,11 6,12 6,13 Clagett, Marshall Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics (Memoirs of the American Philosophical Society) American Philosophical Society. 1999 (ISBN 978-0-87169-232-0)
  7. Moore, Deborah Lela (1994). The African roots of mathematics (2nd έκδοση). Detroit, Mich.: Professional Educational Services. ISBN 1884123007. 
  8. R.C. Archibald Mathematics before the Greeks Science, New Series, Vol.73, No. 1831, (Jan. 31, 1930), pp. 109–121
  9. Annette Imhausen Digitalegypt website: Lahun Papyrus IV.3