Κατανομή Μπερνούλλι

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας $p$.

Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Μπερνούλλι για $p=0.2,0.5,0.7$.

Κατανομή Μπερνούλλι

Συμβολισμός	${\mathsf {Ber}}(p)$
Παράμετροι	$p\in [0,1]$
Φορέας	$x\in \{0,1\}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	${\begin{cases}1-p&{\text{αν }}x=0\\p&{\text{αν }}x=1\end{cases}}$
Μέσος	$p$
Διάμεσος	${\begin{cases}0&{\text{αν }}p<1/2,\\\left[0,1\right]&{\text{αν }}p=1/2,\\1&{\text{αν }}p>1/2.\end{cases}}$
Διακύμανση	$p\cdot (1-p)$
Λοξότητα	${\frac {1-2p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}$
Κύρτωση	${\frac {1}{p\cdot (1-p)}}-3$
Εντροπία	$-p\cdot \log _{2}p-(1-p)\cdot \log _{2}(1-p)$
Ροπή	$\operatorname {E} [X^{k}]=p$
Ροπογεννήτρια	$p\cdot t+q$
Χαρακτηριστική	$p\cdot e^{t}+q$

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ που παίρνει τιμές $0$ ή $1$, δηλαδή $X\in \{0,1\}$. Για $X=1$ έχουμε επιτυχία και για $X=0$ αποτυχία. Λέμε ότι η $X$ ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι ${\mathsf {Ber}}(p)$ για $p\in [0,1]$ αν:

$\operatorname {P} (X=1)=p$ και

$\operatorname {P} (X=0)=q=1-p$.

Το κλασσικό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με $p=1/2$ είναι το στρίψιμο ενός νομίσματος, όπου $X=1$ αντιστοιχεί σε κορώνα και $X=0$ σε γράμματα.

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι ειδική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής με $n=1$.

Αναμενόμενη τιμή

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

$\operatorname {E} [X]=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.$

Διακύμανση

Από τον ορισμό της διακύμανσης, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\operatorname {V} [X]=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]&=p\cdot (1-p)^{2}+(1-p)\cdot p^{2}\\&=p\cdot (1-p)\cdot ((1-p)+p)\\&=p\cdot (1-p).\end{aligned}}$

Λοξότητα

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:

$\gamma _{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].$

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

${\begin{aligned}\gamma _{1}&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sigma }}\right)^{3}+(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sigma }}\right)^{3}\\&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{3}-(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{3}\\&={\frac {(1-p)^{3/2}}{p^{1/2}}}-{\frac {p^{3/2}}{(1-p)^{1/2}}}\\&={\frac {1-2p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}},\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας ότι $\sigma ={\sqrt {p\cdot (1-p)}}$.

Κύρτωση

Από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sigma }}\right)^{4}+(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sigma }}\right)^{4}\\&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{4}+(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{4}\\&={\frac {(1-p)^{2}}{p}}+{\frac {p^{2}}{1-p}}\\&={\frac {(1-p)^{3}+p^{3}}{p\cdot (1-p)}}\\&={\frac {1-3p\cdot (1-p)}{p\cdot (1-p)}}\\&={\frac {1}{p\cdot (1-p)}}-3.\end{aligned}}$

Ροπές

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε $k\in \mathbb {N}$:

$\operatorname {E} [X^{k}]=p\cdot 1^{k}+(1-p)\cdot 0^{k}=p.$

Εντροπία

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

$\operatorname {E} [-\log _{2}X]=-p\cdot \log _{2}p-(1-p)\log _{2}(1-p).$

Η εντροπία μεγιστοποιείται όταν τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, δηλαδή όταν $p=1/2$.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

$G_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]=p\cdot t^{1}+(1-p)\cdot t^{0}=p\cdot t+q.$

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

$\operatorname {E} [e^{tX}]=p\cdot e^{t}+(1-p)\cdot e^{0}=p\cdot e^{t}+q.$

Δείτε επίσης

• Δείκτρια τυχαία μεταβλητή
• Διωνυμική κατανομή