Νόμος των Μπιό-Σαβάρ

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ είναι μια εξίσωση του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής Β μέσω του μέτρου και της διεύθυνσης του ηλεκτρικού ρεύματος, της απόστασης από το ηλεκτρικό ρεύμα, και της μαγνητικής διαπερατότητας.

Η σημασία του νόμου των Μπιό-Σαβάρ έγκειται στο ότι είναι ένας νόμος αντίστροφου τετραγώνου, που αποτελεί λύση στο νόμο του Αμπέρ. Είναι επίσης λύση της εξίσωσης στροβιλότητας: curl A = B, όπου το A μπορεί να θεωρηθεί ως το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του B. Παρέχει λοιπόν τη λύση του πεδίου Β στις εξισώσεις του Μάξγουελ, όπως ακριβώς η δύναμη Λόρεντζ παρέχει τη λύση του πεδίου Ε.

Η ίδια εξίσωση, και με την ίδια ονομασία, χρησιμοποιείται επίσης στην αεροδυναμική για τη μοντελοποίηση του πεδίου ταχυτήτων στη περιοχή γύρω από μία δίνη (vortex)^[1] ^[2] ^[3].

Εισαγωγή

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ και η δύναμη Λόρεντζ είναι τόσο θεμελιώδεις για τον ηλεκτρομαγνητισμό, όσο είναι ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτροστατική.

Πιο συγκεκριμένα, εάν ορίσουμε ένα απειροστό στοιχείο ρεύματος

Id\mathbf {l} ,

τότε το αντίστοιχο διαφορικό στοιχείο του μαγνητικού πεδίου είναι

d\mathbf {B} =K_{m}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}

όπου

K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,

, όπου

\mu _{0}

είναι η μαγνητική σταθερά,

I\mathbf {}

είναι το ρεύμα, το οποίο μετριέται σε Αμπέρ,

d\mathbf {l}

είναι το διαφορικό διάνυσμα μήκους του στοιχείου ρεύματος,

\mathbf {\hat {r}}

είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο που υπολογίζεται το πεδίο Β,

r\mathbf {}

είναι η απόσταση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο του πεδίου Β.

Μορφές

Γενικά

Στη μαγνητοστατική, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η πυκνότητα ρεύματος j:

\mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dv}

όπου

\mathbf {\hat {r}} ={\mathbf {r}  \over r}

είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του r και

dv

= είναι το διαφορικό στοιχείο όγκου.

Συνεχές ομογενές ρεύμα

Στην ειδική περίπτωση ενός σταθερού, ομογενούς ρεύματος I, το μαγνητικό πεδίο Β είναι

\mathbf {B} =K_{m}I\int {\frac {d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}

Σημειακό φορτίο με σταθερή ταχύτητα

Στην ειδική περίπτωση ενός σημειακού φορτισμένου σωματιδίου $q\mathbf {}$ που κινείται με σταθερή ταχύτητα $\mathbf {v}$ , η παραπάνω εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο παίρνει τη μορφή: