Οσόεδρο
Στη γεωμετρία, το n-γωνο οσόεδρο είναι μια ψηφιδοθέτηση μηνίσκων πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια, έτσι ώστε να μοιράζονται όλοι τις ίδιες δύο πολικά αντίθετες κορυφές.[1]
| Σύνολο κανονικών n-γωνικών οσοέδρων | |
 Παράδειγμα εξαγωνικού οσοέδρου πάνω σε σφαίρα | |
| Τύπος | Κανονικό πολύεδρο ή Σφαιρική πλακόστρωση |
| Χαρακτηριστική Όιλερ | 2 |
| Έδρες | n δίγωνα |
| Ακμές | n |
| Κορυφές | 2 |
| Διαμόρφωση κορυφής | 2n |
| Σύμβολο Σλέφλι (Schläfli) | {2,n} |
| Σύμβολο Βάιτχοφ (Wythoff) | n | 2 2 |
| Διάγραμμα Κόξετερ |    
|
| Ομάδα συμμετρίας | Dnh, [2,n], (*22n), τάξης 4n |
| Ομάδα περιστροφής | Dn, [2,n]+, (22n), τάξης 2n |
| Δυϊκό | δίεδρο |
Το κανονικό n-γωνικό οσόεδρο έχει σύμβολο Schläfli {2, n}, με κάθε σφαιρικό μηνίσκο του να έχει εσωτερική γωνία 2π/n ακτίνια (360°/n).[2][3]
Ετυμολογία
ΕπεξεργασίαΟ όρος «οσόεδρο» επινοήθηκε από τον Χάρολντ Σκοτ ΜακΝτόναλντ Κόξετερ (Harold Scott MacDonald Coxeter) και πιθανότατα προέρχεται από την ελληνική λέξη «όσο» (αρχαία ελληνικά: ὅσον), η ιδέα είναι ότι το πολύεδρο αυτό μπορεί να έχει «όσες έδρες επιθυμούμε».[4]
Οσόεδρα ως κανονικά πολύεδρα
ΕπεξεργασίαΓια ένα κανονικό πολύεδρο που έχει σύμβολο Schläfli {m, n}, το πλήθος των πολυγωνικών εδρών του μπορεί να βρεθεί από τον τύπο:
Τα γνωστά από τους αρχαίους χρόνους Πλατωνικά στερεά είναι οι μόνες ακέραιες λύσεις για m ≥ 3 και n ≥ 3. Ο περιορισμός m ≥ 3 συνεπάγεται ότι οι πολυγωνικές έδρες πρέπει να έχουν τουλάχιστον τρεις πλευρές.
Όταν εξετάζονται τα πολύεδρα ως σφαιρική πλακόστρωση, ο περιορισμός αυτός μπορεί να είναι χαλαρός, δεδομένου ότι τα δίγωνα μπορούν να παρασταθούν ως σφαιρικοί μηνίσκοι, που έχουν μη μηδενικό εμβαδόν. Επιτρέποντας το m = 2 ορίζεται μια νέα τάξη άπειρων κανονικών πολυέδρων, τα οποία είναι τα οσόεδρα. Σε μια σφαιρική επιφάνεια, το πολύεδρο {2, n} αναπαρίσταται ως n εφαπτόμενοι σφαιρικοί μηνίσκοι, με εσωτερικές γωνίες 2π/n, όπου όλοι αυτοί οι μηνίσκοι μοιράζονται δύο κοινές κορυφές.
 Το κανονικό τριγωνικό οσόεδρο , {2,3}, αναπαρίσταται ως ψηφιδοθέτηση τριών σφαιρικών μηνίσκων πάνω σε μια σφαίρα. |
 Το κανονικό τετραγωνικό οσόεδρο, αναπαρίσταται ως ψηφιδοθέτηση τεσσάρων σφαιρικών μηνίσκων πάνω σε μια σφαίρα. |
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Εικόνα | 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| {2,n} | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | |
| Coxeter |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Καλειδοσκοπική συμμετρία
ΕπεξεργασίαΟι διγωνικές έδρες (σφαιρικοί μηνίσκοι) ενός 2n-οσοέδρου, {2,2n}, αναπαριστούν το θεμελιώδες πεδίο ορισμού της διεδρικής συμμετρίας σε τρεις διαστάσεις· Cnv, [n], (*nn), τάξης 2n. Τα συμμετρικά πεδία εμφανίζονται με εναλλαγή χρωμάτων στους μηνίσκους. Η διχοτόμηση των σφαιρικών μηνίσκων σε δύο σφαιρικά τρίγωνα δημιουργεί διπυραμίδες και ορίζει διεδρική συμμετρία Dnh, τάξης 4n.
| Συμμετρία | C1v, [ ] | C2v, [2] | C3v, [3] | C4v, [4] | C5v, [5] | C6v, [6] | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Οσόεδρο | {2,2} | {2,4} | {2,6} | {2,8} | {2,10} | {2,12} | |
| Θεμελιώδη πεδία | 
|
|
|
|
|
|
Σχέση με το στερεό του Στάινμετζ
ΕπεξεργασίαΤο τετραγωνικό οσόεδρο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το στερεό του Στάινμετζ, που ονομάζει δικύλινδρο και είναι η τομή δύο κυλίνδρων σε ορθή γωνία.[5]
Παράγωγα πολύεδρα
ΕπεξεργασίαΤο δυϊκό ενός n-γωνικού οσοέδρου {2, n} είναι το n-γωνικό δίεδρο, {n, 2}. Το πολύεδρο {2,2} είναι αυτοδυϊκό, δηλαδή οσόεδρο και δίεδρο ταυτοχρόνως.
Ένα οσόεδρο μπορεί να τροποποιηθεί τοιουτοτρόπως με τα άλλα πολύεδρα για να παραχθεί μια κόλουρη παραλλαγή του. Το κόλουρο n-γωνικό οσόεδρο είναι το n-γωνικό πρίσμα.
Απειρογωνικό οσόεδρο
ΕπεξεργασίαΟριακά το οσόεδρο γίνεται απειρογωνικό οσόεδρο ως ψηφιδοθέτηση δύο διαστάσεων:
Οσότοπο
ΕπεξεργασίαΚατ' αναλογία ένα πολυδιάστατο οσόεδρο ονομάζονται γενικά οσότοπο. Τα κανονικά οσότοπα με Schläfli συμβολισμό {2,p,...,q} έχουν δύο κορυφές, που η καθεμία έχει σχήμα κορυφής {p,...,q}.
Το οσότοπο δύο διαστάσεων είναι το δίγωνο και συμβολίζεται με {2}.
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Weisstein, Eric W., "Hosohedron" από το MathWorld.
- ↑ Coxeter, Regular polytopes, σελ. 12.
- ↑ Abstract Regular polytopes, σελ. 161.
- ↑ Schwartzman (1994), σσ. 108–109.
- ↑ Weisstein, Eric W., "Steinmetz Solid" από το MathWorld.
Πηγές
Επεξεργασία- Coxeter, Harold Scott MacDonald, Regular Polytopes (3η έκδοση), Dover Publications Inc, ISBN 0-486-61480-8
- McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes (1η έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0
- Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. ISBN 978-0-88385-511-9.