Πίνακας Κωσύ

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας Κωσύ, που πήρε το όνομά του από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι ένας m×n πίνακας με στοιχεία a_ij της μορφής

$a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n$

όπου $x_{i}$ και $y_{j}$ είναι στοιχεία ενός σώματος ${\mathcal {F}}$, και $(x_{i})$ και $(y_{j})$ είναι ερριπτικές ακολουθίες (περιέχουν διακριτά στοιχεία).

Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι μια ειδική περίπτωση του πίνακα Κωσύ, όπου

$x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;$

Κάθε Υποπίνακας ενός πίνακα Κωσύ είναι ο ίδιος ένας πίνακας Κωσύ.

Ορίζουσα Κωσύ

Ο ορίζουσα ενός πίνακα Κωσύ είναι σαφώς ένα ρητό κλάσμα στις παραμέτρους $(x_{i})$ και $(y_{j})$. Αν οι ακολουθίες δεν ήταν ερριπτικές, η ορίζουσα θα μηδενιζόταν και θα έτεινε στο άπειρο αν κάποιο $x_{i}$ έτεινε στο $y_{j}$. Ένα υποσύνολο των μηδενικών και των πόλων της είναι επομένως γνωστό. Γεγονός είναι ότι δεν υπάρχουν πλέον μηδενικά και πόλοι:

Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα Κωσύ Α' είναι γνωστή ως ορίζουσα Κωσύ και μπορεί να δοθεί ρητά ως εξής

$\det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}$     (Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, p. 154, eqn. 10).

Είναι πάντοτε μη μηδενικός, και επομένως όλοι οι τετραγωνικοί πίνακες Κωσύ είναι αντιστρέψιμοι. Ο αντίστροφος A⁻¹ = B = [b_ij] δίνεται από τη σχέση

$b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,$     (Schechter 1959, Theorem 1)

όπου A_i(x) και B_i(x) είναι τα πολυώνυμα Λαγκράνζ για $(x_{i})$ και $(y_{j})$, αντίστοιχα. Δηλαδή,

$A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{και}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},$

με

$A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{και}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).$

Γενίκευση

Ένας πίνακας C ονομάζεται Κωσύ-Λαικ αν είναι της μορφής

$C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.$

Ορίζοντας X=diag(x_i), Y=diag(y_i), βλέπουμε ότι τόσο οι πίνακες Κωσύ όσο και οι πίνακες τύπου Κωσύ ικανοποιούν την εξίσωση μετατόπισης

$\mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }$

(με $r=s=(1,1,\ldots ,1)$ για το Κωσύ). Συνεπώς, οι πίνακες τύπου Κωσύ έχουν μια κοινή δομή μετατόπισης, η οποία μπορεί να αξιοποιηθεί κατά την εργασία με τον πίνακα. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν γνωστοί αλγόριθμοι στη βιβλιογραφία για

• προσεγγιστικός πολλαπλασιασμός πινάκων-διανυσμάτων του Κωσύ με $O(n\log n)$ ops (π.χ. η μέθοδος γρήγορης πολυπολικής μέθοδος),
• (περιστρεφόμενη) παραγοντοποίηση LU με $O(n^{2})$ ops (αλγόριθμος GKO), και συνεπώς επίλυση γραμμικών συστημάτων,
• προσεγγιστικοί ή ασταθείς αλγόριθμοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων σε $O(n\log ^{2}n)$.

Εδώ $n$ δηλώνει το μέγεθος του πίνακα (συνήθως έχουμε να κάνουμε με τετραγωνικούς πίνακες, αν και όλοι οι αλγόριθμοι μπορούν εύκολα να γενικευτούν σε ορθογώνιους πίνακες).

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Πραγματικός αριθμός
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Διωνυμικός συντελεστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
• Matrix Computations
• A Hilbert Space Problem Book
• Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Sylvester, J. (1884). «Sur l'equations en matrices $px=xq$». :C. R. Acad. Sci. Paris 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Cauchy, Augustin-Louis (1841). Exercices d'analyse et de physique mathématique. Vol. 2 (στα Γαλλικά). Bachelier. 
• A. Gerasoulis (1988). «A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors». Mathematics of Computation 50 (181): 179–188. doi:10.2307/2007921. https://www.ams.org/journals/mcom/1988-50-181/S0025-5718-1988-0917825-9/S0025-5718-1988-0917825-9.pdf. 
• I. Gohberg; T. Kailath; V. Olshevsky (1995). «Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure». Mathematics of Computation 64 (212): 1557–1576. doi:10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x. Bibcode: 1995MaCom..64.1557G. https://www.ams.org/journals/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1312096-X/S0025-5718-1995-1312096-X.pdf. 
• P. G. Martinsson; M. Tygert; V. Rokhlin (2005). «An $O(N\log ^{2}N)$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices». Computers & Mathematics with Applications 50 (5–6): 741–752. doi:10.1016/j.camwa.2005.03.011. http://amath.colorado.edu/faculty/martinss/Pubs/2004_toeplitz.pdf. 
• S. Schechter (1959). «On the inversion of certain matrices». Mathematical Tables and Other Aids to Computation 13 (66): 73–77. doi:10.2307/2001955. https://www.ams.org/journals/mcom/1959-13-066/S0025-5718-1959-0105798-2/S0025-5718-1959-0105798-2.pdf. 
• TiIo Finck, Georg Heinig, and Karla Rost: "An Inversion Formula and Fast Algorithms for Cauchy-Vandermonde Matrices", Linear Algebra and its Applications, vol.183 (1993), pp.179-191.
• Dario Fasino: "Orthogonal Cauchy-like matrices", Numerical Algorithms, vol.92 (2023), pp.619-637. url=https://doi.org/10.1007/s11075-022-01391-y .

Παραπομπές

• Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
• Hilbert, David· Cohn-Vossen, Stephan (1999). Geometry and Imagination. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1998-4.  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
• David Hilbert (2004). Michael Hallett and Ulrich Majer, επιμ. David Hilbert's Lectures on the foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-64373-7.