Πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με 0, 1 και -1, έτσι ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής και στήλης να είναι 1 και οι μη μηδενικές καταχωρήσεις σε κάθε γραμμή και στήλη να εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο. Αυτοί οι πίνακες γενικεύουν τους πίνακες μεταθέσεων και προκύπτουν φυσικά όταν χρησιμοποιείται η συμπύκνωση Ντόντγκσον για τον υπολογισμό ενός καθοριστικού παράγοντα^[1]. Είναι επίσης στενά συνδεδεμένοι με το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τοιχώματος περιοχής από τη στατιστική μηχανική. Για πρώτη φορά ορίστηκαν από τους Γουίλιαμ Μιλς, Ντέιβιντ Ρόμπινς και Χάουαρντ Ράμσεϊ στο πρώτο πλαίσιο.

{\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}

Οι επτά πίνακες με εναλλασσόμενο πρόσημο μεγέθους 3

Παραδείγματα

Ένας πίνακας αντιμετάθεσης είναι ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο, και ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι ένας πίνακας αντιμετάθεσης εάν και μόνο εάν καμία εγγραφή δεν ισούται με $-1$ .

Παράδειγμα ενός πίνακα εναλλασσόμενων προσήμων που δεν είναι πίνακας μετάθεσης είναι ο

Εικόνα παζλ

{\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.

Θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο

Το θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο δηλώνει ότι ο αριθμός των $n\times n$ πινάκων με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι

\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.

Οι πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας για n = 0, 1, 2, 3, … είναι

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … (ακολουθία A005130 στην OEIS).

Αυτό το θεώρημα αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Ντόρον Ζεϊλμπεργκερ το 1992^[2]. Το 1995, ο Γκρεγκ Κούπερμπεργκ έδωσε μια σύντομη απόδειξη^[3] βασισμένη στην εξίσωση Γιανγκ-Μπάξτερ για το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τομέα-τοίχου, που χρησιμοποιεί έναν υπολογισμό της ορίζουσας που οφείλεται στον Ανατόλι Ιζεργκίν^[4]. Το 2005, μια τρίτη απόδειξη δόθηκε από την Ίλσε Φίσερ χρησιμοποιώντας αυτό που ονομάζεται μέθοδος του τελεστή^[5].

Πρόβλημα Ραζούμοφ-Στρογκάνοφ

Το 2001, οι Α. Ραζούμοφ και Γ. Στρογκάνοφ υπέθεσαν μια σύνδεση μεταξύ του μοντέλου βρόχων Ο(1), του μοντέλου πλήρως συσκευασμένων βρόχων (FPL) και των ASMs.^[6] Η εικασία αυτή αποδείχθηκε το 2010 από τους Καντίνι και Σπορτιέλο.^[7]

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244.
Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8.
Bressoud, David M., Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.(ISBN 978-0521666466)
Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Alternating sign matrices and descending plane partitions, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 34 (1983), 340–359.
Propp, James, The many faces of alternating-sign matrices, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Special issue on Discrete Models: Combinatorics, Computation, and Geometry (July 2001).
Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., Combinatorial nature of ground state vector of O(1) loop model, Theor. Math. Phys., 138 (2004), 333–337.
Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., O(1) loop model with different boundary conditions and symmetry classes of alternating-sign matrices], Theor. Math. Phys., 142 (2005), 237–243, arXiv:cond-mat/0108103
Robbins, David P., The story of $1,2,7,42,429,7436,\dots$ , The Mathematical Intelligencer, 13 (2), 12–19 (1991), doi:10.1007/BF03024081.
Zeilberger, Doron, Proof of the refined alternating sign matrix conjecture, New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

Δείτε επίσης

Field Arithmetic
Πραγματικό προβολικό επίπεδο
Πραγματικός αριθμός
Αντιερμιτιανός πίνακας
Ενελικτικός πίνακας
Τριγωνικός πίνακας
Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
Ταυτοτικός πίνακας
Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
Πολλαπλασιασμός πινάκων
High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ Hone, Andrew N. W. (2006), «Dodgson condensation, alternating signs and square ice», Philosophical Transactions of the Royal Society of London 364 (1849): 3183–3198, doi:10.1098/rsta.2006.1887
↑ Zeilberger, Doron, "Proof of the alternating sign matrix conjecture", Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996), R13.
↑ Kuperberg, Greg, "Another proof of the alternating sign matrix conjecture", International Mathematics Research Notes (1996), 139-150.
↑ "Determinant formula for the six-vertex model", A. G. Izergin et al. 1992 J. Phys. A: Math. Gen. 25 4315.
↑ Fischer, Ilse (2005). «A new proof of the refined alternating sign matrix theorem». Journal of Combinatorial Theory, Series A 114 (2): 253–264. doi:10.1016/j.jcta.2006.04.004. Bibcode: 2005math......7270F.
↑ Razumov, A.V., Stroganov Yu.G., Spin chains and combinatorics, Journal of Physics A, 34 (2001), 3185-3190.
↑ L. Cantini and A. Sportiello, Proof of the Razumov-Stroganov conjectureJournal of Combinatorial Theory, Series A, 118 (5), (2011) 1549–1574,

Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau
Muir, Thomas (1960). A Treatise on the Theory of Determinants . Dover. σελ. 19. ISBN 0-486-60670-8.
Weaver, James R. (1985). «Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors». American Mathematical Monthly 92 (10): 711–717. doi:10.2307/2323222.

[1] Hone, Andrew N. W. (2006), «Dodgson condensation, alternating signs and square ice», Philosophical Transactions of the Royal Society of London 364 (1849): 3183–3198, doi:10.1098/rsta.2006.1887

[2] Zeilberger, Doron, "Proof of the alternating sign matrix conjecture", Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996), R13.

[3] Kuperberg, Greg, "Another proof of the alternating sign matrix conjecture", International Mathematics Research Notes (1996), 139-150.

[4] "Determinant formula for the six-vertex model", A. G. Izergin et al. 1992 J. Phys. A: Math. Gen. 25 4315.

[5] Fischer, Ilse (2005). «A new proof of the refined alternating sign matrix theorem». Journal of Combinatorial Theory, Series A 114 (2): 253–264. doi:10.1016/j.jcta.2006.04.004. Bibcode: 2005math......7270F.

[6] Razumov, A.V., Stroganov Yu.G., Spin chains and combinatorics, Journal of Physics A, 34 (2001), 3185-3190.

[7] L. Cantini and A. Sportiello, Proof of the Razumov-Stroganov conjectureJournal of Combinatorial Theory, Series A, 118 (5), (2011) 1549–1574,

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]