Πίνακας GCD

Στα μαθηματικά, ο πίνακας του μέγιστου κοινού διαιρέτη (μερικές φορές συντομογραφείται ως πίνακας GCD) είναι ένας πίνακας που μπορεί επίσης να αναφέρεται ως πίνακας του Σμιθ. Η μελέτη του ξεκίνησε από τον H.J.S. Σμιθ (1875). Μια νέα έμπνευση ξεκίνησε από την εργασία των Μπουρκ & Λιχ (1992). Αυτό οδήγησε σε εντατικές έρευνες σχετικά με την ιδιομορφία και τη διαιρετότητα των πινάκων τύπου GCD. Μια σύντομη ανασκόπηση των εργασιών σχετικά με τους πίνακες τύπου GCD πριν από εκείνη την εποχή παρουσιάζεται στο Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Haukkanen, Wang & Sillanpää (1997).

Ορισμός

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
1	1	3	1	1	3	1	1	3	1
1	2	1	4	1	2	1	4	1	2
1	1	1	1	5	1	1	1	1	5
1	2	3	2	1	6	1	2	3	2
1	1	1	1	1	1	7	1	1	1
1	2	1	4	1	2	1	8	1	2
1	1	3	1	1	3	1	1	9	1
1	2	1	2	5	2	1	2	1	10
Πίνακας GCD του (1,2,3,...,10)

Έστω $S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ένας κατάλογος θετικών ακεραίων αριθμών. Τότε ο $n\times n$ πίνακας $(S)$ που έχει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη $\gcd(x_{i},x_{j})$ ως την $ij$ είσοδό του, αναφέρεται ως πίνακας GCD στο $S$.Ο πίνακας LCM $[S]$ ορίζεται αναλογικά.

Η μελέτη των πινάκων τύπου GCD προέρχεται από τον Smith (1875), ο οποίος αξιολόγησε τον προσδιοριστή ορισμένων πινάκων τύπου GCD και LCM. Ο Σμιθ έδειξε μεταξύ άλλων ότι η ορίζουσα του $n\times n$ πίνακα $(\gcd(i,j))$ is $\phi (1)\phi (2)\cdots \phi (n)$, όπου $\phi$ είναι η συνάρτηση ολικού συντελεστή του Όιλερ.

Εικασία Μπουρκ - Λάι

Οι Μπουρκ & Λάι (1992) υπέθεσαν ότι ο LCM πίνακας σε ένα GCD-κλειστό σύνολο $S$ είναι μη-συνεκτικός. Η εικασία αυτή αποδείχθηκε λανθασμένη από τους Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Haukkanen, Wang & Sillanpää (1997) και στη συνέχεια από τον Χονγκ (Hong (1999). Μια θεωρητική προσέγγιση με βάση το πλέγμα παρέχεται από τους Κόρκε, Ματίλα & Χαουκκάνεν (Korkee, Mattila & Haukkanen (2019).

Το αντιπαράδειγμα που παρουσιάζεται στο Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Haukkanen, Wang & Sillanpää (1997) είναι $S=\{1,2,3,4,5,6,10,45,180\}$ και αυτό στον Χονγκ (Hong (1999) είναι $S=\{1,2,3,5,36,230,825,227700\}.$ Ένα αντιπαράδειγμα που αποτελείται από περιττούς αριθμούς είναι $S=\{1,3,5,7,195,291,1407,4025,1020180525\}$. Το διάγραμμα Χάσε του παρουσιάζεται στα δεξιά παρακάτω.

Οι δομές τύπου κύβου αυτών των συνόλων σε σχέση με τη σχέση διαιρετότητας εξηγούνται στο Χαουκκάνεν, Γουάνγκ & Σιλάνπα (Korkee, Mattila & Haukkanen (2019).

Το διάγραμμα Χάσε ενός περιττού κλειστού συνόλου GCD του οποίου ο πίνακας LCM είναι ιδιάζων

Διαιρετότητα

Έστω $S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ένα παραγοντικό κλειστό σύνολο. Τότε ο GCD πίνακας $(S)$ διαιρεί τον LCM πίνακα $[S]$ στο δακτύλιο των $n\times n$ πινάκων πάνω στους ακεραίους, δηλαδή υπάρχει ένας ολοκληρωτικός πίνακας $B$ τέτοιος ώστε $[S]=B(S)$, βλέπε Bourque & Ligh (1992). Δεδομένου ότι οι πίνακες $(S)$ και $[S]$ είναι συμμετρικοί, έχουμε $[S]=(S)B^{T}$. Έτσι, η διαιρετότητα από τα δεξιά συμπίπτει με εκείνη από τα αριστερά. Μπορούμε επομένως να χρησιμοποιήσουμε τον όρο διαιρετότητα.

Υπάρχει στη βιβλιογραφία ένας μεγάλος αριθμός γενικεύσεων και αναλογιών αυτού του βασικού αποτελέσματος διαιρετότητας.

Κανόνες πίνακα

Στη βιβλιογραφία παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα σχετικά με τις νόρμες πινάκων πινάκων τύπου GCD. Δύο βασικά αποτελέσματα αφορούν την ασυμπτωτική συμπεριφορά της νόρμας $\ell _{p}$ του του πίνακα GCD και του πίνακα LCM σε $S=\{1,2,\dots ,n\}$.

Δεδομένου του $p\in \mathbb {N} ^{+}$, η νόρμα $\ell _{p}$ ενός $n\times n$ πίνακα $A$ ορίζεται ως εξής

$\Vert A\Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.$

Έστω $S=\{1,2,\dots ,n\}$. If $p\geq 2$, τότε

$\Vert (S)\Vert _{p}=C_{p}^{1/p}n^{1+(1/p)}+O((n^{(1/p)-p}E_{p}(n)),$

όπου

$C_{p}:={\frac {2\zeta (p)-\zeta (p+1)}{(p+1)\zeta (p+1)}}$

κσι $E_{p}(x)=x^{p}$ for $p>2$ and $E_{2}(x)=x^{2}\log x$. Επιπλέον, εάν $p\geq 1$, τότε

$\Vert [S]\Vert _{p}=D_{p}^{1/p}n^{2+(2/p)}+O((n^{(2/p)+1}(\log n)^{2/3}(\log \log n)^{4/3}),$

όπου

$D_{p}:={\frac {\zeta (p+2)}{(p+1)^{2}\zeta (p)}}.$

Παραγοντοποιήσεις

Έστω $f$ μια αριθμητική συνάρτηση, και έστω $S=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ένα σύνολο διαφορετικών θετικών ακεραίων αριθμών. Τότε ο πίνακας $(S)_{f}=(f(\gcd(x_{i},x_{j}))$ αναφέρεται ως ο πίνακας GCD στο $S$ που σχετίζεται με την $f$. Ο LCM πίνακας $[S]_{f}$ στο $S$ που σχετίζεται με το $f$ ορίζεται αναλογικά. Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς $(S)_{f}=f(S)$ και $[S]_{f}=f[S]$.

Έστω $S$ ένα κλειστό σύνολο GCD. Τότε

$(S)_{f}=E\Delta E^{T},$

όπου $E$ είναι ο πίνακας $n\times n$ που ορίζεται από τη σχέση

$e_{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x_{j}\,\mid \,x_{i},\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

και $\Delta$ είναι ο $n\times n$ διαγώνιος πίνακας, του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι

$\delta _{i}=\sum _{d\mid x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}(f\star \mu )(d).$

Εδώ $\star$ είναι η συνέλιξη Ντίριχλετ και $\mu$ είναι η συνάρτηση Μπέμπιος (Möbius).

Επιπλέον, αν $f$ είναι πολλαπλασιαστική συνάρτηση και πάντα μη μηδενική, τότε

$[S]_{f}=\Lambda E\Delta ^{\prime }E^{T}\Lambda ,$

όπου $\Lambda$ και $\Delta '$ είναι οι $n\times n$ διαγώνιοι πίνακες, των οποίων τα διαγώνια στοιχεία είναι $\lambda _{i}=f(x_{i})$ και

$\delta _{i}^{\prime }=\sum _{d\vert x_{i} \atop {d\nmid x_{t} \atop x_{t}<x_{i}}}({\frac {1}{f}}\star \mu )(d).$

Αν το $S$ είναι παραγοντικά κλειστό, τότε $\delta _{i}=(f\star \mu )(x_{i})$ και $\delta _{i}^{\prime }=({\frac {1}{f}}\star \mu )(x_{i})$.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001. 
• Wilson, Robin (2018). Euler's Pioneering Equation: The Most Beautiful Theorem in Mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9. MR 3791469. 
• Damask, Jay N. (2004). Polarization Optics in Telecommunications. Springer. ISBN 0-387-22493-9. 
• Goldstein, Dennis· Dekker, Marcel (2003). Polarized Light (2nd έκδοση). Taylor & Francis. ISBN 0-8247-4053-X. 
• Karlsen, Leif (2003). Secrets of the Viking Navigators: How the Vikings used their amazing sunstones and other techniques to cross the open oceans. One Earth Press. 
• Hardy, G. H.· Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth έκδοση). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd έκδοση). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Μετασχηματισμός Λαπλάς
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντίριχλετ
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Matrix Theory: From Generalized Inverses to Jordan Form
• Multimedia Content Representation, Classification and Security ...
• Structured Matrix Based Methods for Approximate Polynomial GCD