Συνδυασμός (μαθηματικά)

Συνδυασμός των n στοιχείων ενός συνόλου Α ανά k ονομάζεται κάθε υποσύνολο του συνόλου Α με k στοιχεία.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το σύνολο Α={α,β,γ,δ} και ας γράψουμε όλα τα υποσύνολά του με τρία στοιχεία. Αυτά είναι τα εξής: {α,β,γ}, {α,β,δ}, {α,γ,δ} και {β,γ,δ}. Καθένα από αυτά τα τέσσερα υποσύνολα είναι ένας συνδυασμός των 4 στοιχείων του Α ανά 3.

Το πλήθος των συνδυασμών n στοιχείων ανά k συμβολίζεται με ${n \choose k}$ και διαβάζεται «συνδυασμοί των n ανά k»

Το πλήθος των συνδυασμών n στοιχείων ανά k είναι: ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ , όπου n ${\textstyle \geq }$ k. Διαφορετικά είναι αδύνατο καθώς δεν υπάρχει αρνητικό παραγοντικό ενός αριθμού.

Η έκφραση n! διαβάζεται νι παραγοντικό και είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν.

Για τους συνδυασμούς ισχύει η ιδιότητα: ${n \choose k}={n \choose n-k}$

Στα προβλήματα συνδυασμών δεν έχει σημασία η διάταξη των στοιχείων (η σειρά επιλογής τους) παρά μόνο τα στοιχεία που θα επιλεγούν και έτσι το ζητούμενο είναι ο αριθμός των συνδυασμών και όχι των διατάξεων. Δύο συνδυασμοί ταυτίζονται αν έχουν τα ίδια στοιχεία.

Δύο προβλήματα συνδυασμών

1. Στις γραπτές εξετάσεις οι μαθητές πρέπει από το σύνολο των 9 ερωτήσεων που τους δίνονται να απαντήσουν στις 6. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας μαθητής να επιλέξει τις ερωτήσεις στις οποίες θα απαντήσει;

Απάντηση

${9 \choose 6}={\frac {9!}{6!(9-6)!}}={\frac {9!}{6!\cdot 3!}}={\frac {7\cdot 8\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3}}=84$

2. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας παίχτης από μια τράπουλα με 52 χαρτιά να επιλέξει 5;

Απάντηση

${52 \choose 5}={\frac {52!}{5!(52-5)!}}={\frac {52!}{5!\cdot 47!}}={\frac {48\cdot 49\cdot 50\cdot 51\cdot 52}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}=2.598.960$

Βιβλιογραφία

Άλγεβρα Β΄Λυκείου Ο.Ε.Δ.Β.,1991