Συνδυασμός (μαθηματικά)

όρος των μαθηματικών

Στα μαθηματικά, συνδυασμός των στοιχείων ενός συνόλου ανά ονομάζεται κάθε υποσύνολο του συνόλου με στοιχεία.[1]:64-66[2]:21-23

Για παράδειγμα, για το σύνολο , τα υποσύνολα με τρία στοιχεία είναι τα εξής:

, , και .

Κάθε ένα από αυτά τα τέσσερα υποσύνολα είναι ένας συνδυασμός των 4 στοιχείων του ανά 3.

Το πλήθος των συνδυασμών στοιχείων ανά δίνονται από τον διωνυμικό συντελεστή

,

και διαβάζεται ως «συνδυασμοί των ανά ».

Παραδείγματα

Επεξεργασία

Για ένα σύνολο   με τρία στοιχεία:

  • Οι συνδυασμοί   ανά   είναι  :  ,  ,  .
  • Οι συνδυασμοί   ανά   είναι  :  ,  ,  .
  • Οι συνδυασμοί   ανά   είναι  :  .

Για ένα σύνολο   με τέσσερα στοιχεία:

  • Οι συνδυασμοί   ανά   είναι  :  ,  ,  ,  .
  • Οι συνδυασμοί   ανά   είναι  :  ,  ,  ,  ,  ,  .
  • Οι συνδυασμοί   ανά   είναι  :  ,  ,  ,  .
  • Οι συνδυασμοί   ανά   είναι  :  .

Πλήθος των συνδυασμών

Επεξεργασία

Το πλήθος των συνδυασμών   στοιχείων ανά   (για  ) είναι:

 ,

όπου   είναι το παραγοντικό του  .

Απόδειξη με πλήθος διατάξεων

Επεξεργασία

Υπενθυμίζουμε ότι μία διάταξη   στοιχείων του συνόλου   ανά   είναι οποιαδήποτε  -άδα διαφορετικών στοιχείων του  . Σε αντίθεση με τους συνδυασμούς η   είναι διαφορετική διάταξη από την  .

Το πλήθος των διατάξεων   στοιχείων ανά   είναι  . Κάθε συνδυασμός αντιστοιχεί σε ακριβώς   διατάξεις, τις δυνατές μεταθέσεις των στοιχείων του. Επομένως, υπάρχουν συνολικά

 

συνδυασμοί.

Για παράδειγμα, για κάθε έναν από τους τέσσερις συνδυασμούς   ανά  , αντιστοιχούν οι παρακάτω   διατάξεις:

       
       
       
       
       
       
       

Απόδειξη με αναδρομικό ορισμό

Επεξεργασία

Έστω   το πλήθος των   ανά   συνδυασμών. Θέλουμε να δείξουμε ότι  .

Υπάρχουν δύο τρόποι να φτιάξουμε ένα συνδυασμό   στοιχείων   ανά  :

  • Να διαλέξουμε   στοιχεία από τα   και το στοιχείο   (με συνολικά   τρόπους).
  • Ή να διαλέξουμε   στοιχεία από τα   (με συνολικά   τρόπους).

Επομένως, το συνολικό πλήθος συνδυασμών   ανά   ικανοποιούν:

 

και  . Επομένως, τα πλήθη των συνδυασμών ικανοποιούν τον αναδρομικό ορισμό των διωνυμικών συντελεστών και επομένως έχουμε ότι  .

Παραδείγματα

Επεξεργασία

Παράδειγμα 1ο

Επεξεργασία

Στις γραπτές εξετάσεις οι μαθητές πρέπει από το σύνολο των 9 ερωτήσεων που τους δίνονται να απαντήσουν στις 6. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας μαθητής να επιλέξει τις ερωτήσεις στις οποίες θα απαντήσει;

Απάντηση

 

Παράδειγμα 2ο

Επεξεργασία

Με πόσους τρόπους μπορεί ένας παίχτης από μια τράπουλα με 52 χαρτιά να επιλέξει 5;

Απάντηση

 

Παράδειγμα 3ο

Επεξεργασία

Ένα σχολείο έχει   μαθήτριες και   μαθητές. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε ένα 15μελές με 9 μαθήτριες και 6 μαθητές;

Απάντηση

 

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Αντωνίου, Ευστάθιος. «Μαθηματικά ΙΙΙ: Διακριτά Μαθηματικά» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Ηλεκτρονικών Συστημάτων. Ανακτήθηκε στις 1 Φεβρουαρίου 2023. 
  2. Δημητράκος, Θεοδόσης. «Σημειώσεις για το μάθημα Στατιστική» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 1 Φεβρουαρίου 2023.