Τετραγωνική ρίζα του 2

Η τετραγωνική ρίζα του 2, ή αλλιώς, γραμμένο στα μαθηματικά, √2 ή 2^1⁄₂, είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2. Τεχνικά, ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, έτσι ώστε να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.

Τετραγωνική ρίζα του 2

Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ίση με το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές μήκους 1.
Αναπαραστάσεις
Δεκαδική	1.4142135623730950488...
Συνεχές κλάσμα	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}$
Δυαδική	1.01101010000010011110...
Δεκαεξαδική	1.6A09E667F3BCC908B2F...

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός.

Ιστορία

Βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα (YBC 7289) με σχολιασμούς. Δείχνει την τετραγωνική ρίζα του 2 σε εξηκονταδική μορφή (1 24 51 10).

Η βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.Χ.) δίνει μια προσέγγιση του √2 σε τέσσερα εξηνταδικά στοιχεία, 1 24 51 10, η οποία έχει ακρίβεια περίπου έξι δεκαδικά ψηφία, και είναι η κοντινότερη δυνατή εξηκονταδική αναπαράσταση του √2:

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.$

Μια άλλη πρώιμη προσέγγιση δίνεται στα αρχαία Ινδικά μαθηματικά κείμενα, τα Sulbasutras (800-200 π.Χ.) ως εξής: Αύξηση του μήκους της πλευράς με την τρίτη και της τρίτης από τη δική τέταρτη μικρότερη των τριάντα τέταρτο μέρος του τέταρτου. Δηλαδή,

$1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.$

Η προσέγγιση αυτή είναι η έβδομη στη σειρά από ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις με βάση την ακολουθία των αριθμών του Πελ, η οποία μπορεί να προέρχεται από το συνεχές κλάσμα της επέκτασης του √2. Παρά τον μικρότερο παρονομαστή, είναι μόνο ελαφρώς λιγότερο ακριβές από τη βαβυλωνιακή προσέγγιση.

Πυθαγόρειοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι μη υπολογίσιμη, ή σε σύγχρονη γλώσσα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητη. Λίγα είναι γνωστά σχετικά με το χρόνο ή τις συνθήκες αυτής της ανακάλυψης, αλλά το όνομα του Ιππάσου από το Μεταπόντιο αναφέρεται συχνά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Ίππασος δολοφονήθηκε για αυτήν την αποκάλυψη. Η τετραγωνική ρίζα του δύο μερικές φορές αποκαλείται «ο αριθμός του Πυθαγόρα» ή «Πυθαγόρεια σταθερά», για παράδειγμα στο Conway & Guy (1996) .

Υπολογισμός με αλγορίθμους

Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι για την προσέγγιση του √2 ως κλάσμα ακεραίων αριθμών. Ο πιο κοινός αλγόριθμος για αυτό, ο οποίος χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογιστές και αριθμομηχανές είναι η βαβυλωνιακή μέθοδος υπολογισμού τετραγωνικών ριζών. Η μέθοδος λειτουργεί ως εξής:

Πρώτον, διαλέγουμε ένα $a_{0}>0$, η τιμή του οποίου επηρεάζει μόνο πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη μίας προσέγγισης με συγκεκριμένη ακρίβεια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτή την αρχική τιμή, χρησιμοποιεί τον ακόλουθο αναδρομικό υπολογισμό:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}$.

Όσο περισσότερες επαναλήψεις τρέξουμε από τον αλγόριθμο (δηλαδή, όσο περισσότερους υπολογισμούς εκτελούμε και όσο μεγαλύτερο είναι το n), τόσο καλύτερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 που επιτυγχάνεται. Κάθε επανάληψη περίπου διπλασιάζει το πλήθος των σωστών ψηφίων. Ξεκινώντας με το $a_{0}=1$ οι επόμενες προσεγγίσεις είναι οι εξής (όπου με bold είναι τα δεκαδικά ψηφία που είναι σωστά):

• 3/2 = 1 ,5
• 17/12 = 1,41 6 ...
• 577/408= 1,41421 5 ...
• 665857/470832= 1,41421356237 46 ...

Η τιμή της √2 υπολογίστηκε με 137.438.953.444 δεκαδικά ψηφία από την ομάδα Yasumasa στον Καναδά το 1997. Τον Φεβρουάριο του 2006 το ρεκόρ για τον υπολογισμό του √2 επιτεύχθηκε με την χρήση του προσωπικού υπολογιστή. Ο Σιγκέρου Κόντο υπολόγισε 1 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία το 2010. Για την επίτευξη αυτού του ρεκόρ, δείτε τον παρακάτω πίνακα. Μεταξύ μαθηματικών σταθερών που είναι δύσκολο να υπολογιστούν, μόνο το π έχει υπολογιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Ημερομηνία	Όνομα	Πλήθος ψηφίων
Ιανουάριος 5, 2022	Tizian Hanselmann	10000000001000
Ιούνιος 28, 2016	Ron Watkins	10000000000000
Απρίλιος 3, 2016	Ron Watkins	5000000000000
Ιανουάριος 20, 2016	Ron Watkins	2000000000100
Φεβρουάριος 9, 2012	Alexander Yee	2000000000050
Μάρτιος 22, 2010	Shigeru Kondo	1000000000000

Αποδείξεις αρρητότητας

Με εις άτοπον απαγωγή

Ας υποθέσουμε ότι το ${\sqrt {2}}$ μπορεί να γραφτεί ως το κλάσμα ${\tfrac {p}{q}}$, όπου $p$ και $q\neq 0$ είναι φυσικοί αριθμοί που είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος αριθμός (μεγαλύτερος του 1) που να διαιρεί και το $p$ και το $q$. Τότε, έχουμε ότι

${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}\Rightarrow 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\Rightarrow 2q^{2}=p^{2}$.

Επομένως, έχουμε ότι $2\mid p^{2}$ και άρα $2\mid p$, δηλαδή $p=2p'$ για κάποιον φυσικό αριθμό $p'$.

Επιστρέφοντας στην σχέση $2q^{2}=p^{2}$, έχουμε ότι

$2q^{2}=4(p')^{2}\Rightarrow q^{2}=2(p')^{2}$.

Συνεπώς, $2\mid q^{2}$ και $2\mid q$. Αυτό όμως μας οδηγεί σε άτοπο καθώς και ο $p$ και ο $q$ είναι ζυγοί, άρα δεν είναι πρώτοι μεταξύ (άτοπο).

Με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής

Ξανά γράφοντας το ${\sqrt {2}}$ σαν κλάσμα ${\tfrac {p}{q}}$, έχουμε ότι

$2q^{2}=p^{2}$.

Από το θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής, οι αριθμοί $2q^{2}$ και $p^{2}$ μπορούν να γραφτούν μοναδικά ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Ο $p^{2}$, λόγω του τετραγώνου, έχει κάθε πρώτο παράγοντα ζυγό αριθμό φορών. Το ίδιο και το $q^{2}$. Αλλά τότε ο $2q^{2}$ έχει μονό πλήθος από παράγοντες $2$. Συνεπώς, δεν μπορούν οι α$p^{2}$ και $2q^{2}$ να είναι ίσοι.

Περεταίρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), «Pythagoras' Constant: √2», Numbers, Constants and Computation, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html, ανακτήθηκε στις 2018-05-09 .
• Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" από το MathWorld.
• Η Τετραγωνική Ρίζα του Δύο και 5 εκατομμύρια ψηφία από Jerry Bonnell και Robert J. Nemiroff
• Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη, μια συλλογή από αποδείξεις
• Grime, James· Bowley, Roger. «The Square Root √2 of Two». Numberphile. Brady Haran. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Μαΐου 2017. Ανακτήθηκε στις 9 Μαΐου 2018. 

Ελληνικά άρθρα

• Πανάς Επαμεινώνδας (1977). «Μερικές αποδείξεις της αρρητότητας του ρίζα 2». Ευκλείδης Β΄ (5): 1-2. 
• Ι. Παπαδάτος (1978). «Ιστορική Αναδρομή για την Εύρεση Τετραγωνικής ρίζας Αριθμού». Ευκλείδης Β΄ (3): 103-104. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3924. 
• Α. Χαλάτσης (1990). «Υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας με προσέγγιση». Ευκλείδης Β΄ (3): 10-11. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2862. 
• Παπασταυρίδης Σταύρος (1993). «Ο Ασσύμετρος "ρίζα 2"». Ευκλείδης Β΄ (3): 10-11. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3596. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Estermann, T. (Ιουνίου 1975). «59.3. The irrationality of √2». The Mathematical Gazette 59 (408): 110–110. doi:10.2307/3616647. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1975-06_59_408/page/110. 
• Moreno, Samuel G.; García−Caballero, Esther M. (Μαρτίου 2020). «104.01 Irrationality of with determinants». The Mathematical Gazette 104 (559): 143–146. doi:10.1017/mag.2020.16. 
• Apostol, Tom M. (Νοεμβρίου 2000). «Irrationality of The Square Root of Two—A Geometric Proof». The American Mathematical Monthly 107 (9): 841–842. doi:10.1080/00029890.2000.12005280. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2000-11_107_9/page/841.