Τυχαίος ευκλείδειος πίνακας

Στα μαθηματικά, ένας N×N τυχαίος ευκλείδειος πίνακας Â ορίζεται με τη βοήθεια μιας αυθαίρετης ντετερμινιστικής συνάρτησης f(r, r′) και Ν σημείων {r_i} τυχαία κατανεμημένων σε μια περιοχή V του d-διάστατου ευκλείδειου χώρου. Το στοιχείο A_ij του πίνακα είναι ίσο με f(r_i, r_j): A_ij = f(r_i, r_j).

Παράδειγμα της κατανομής πιθανότητας των ιδιοτιμών Λ του ευκλείδειου τυχαίου πίνακα που παράγεται από τη συνάρτηση f(r, r′) = sin(k₀ǀr-r′ǀ)/(k₀ǀr-r′ǀ), με k₀ = 2π/λ₀. Η κατανομή Μαρτσένκο-Παστούρ (κόκκινο) συγκρίνεται με το αποτέλεσμα της αριθμητικής διαγωνοποίησης ενός συνόλου τυχαία παραγόμενων πινάκων μεγέθους N×N. πυκνότητα των σημείων είναι ρλ₀³ = 0.1.

Ιστορία

Οι τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά το 1999Μελετήθηκε μια ειδική περίπτωση συναρτήσεων f που εξαρτώνται μόνο από τις αποστάσεις μεταξύ των ζευγών σημείων: f(r, r′) = f(r - r′) και επιβλήθηκε μια πρόσθετη συνθήκη για τα διαγώνια στοιχεία A_ii,

A_ij = f(r_i - r_j) - u δ_ijΣ_kf(r_i - r_k),

με κίνητρο το φυσικό πλαίσιο στο οποίο μελετούσαν τον πίνακα. Ένας πίνακας ευκλείδειας απόστασης είναι ένα ιδιαίτερο παράδειγμα ευκλείδειου τυχαίου πίνακα με είτε f(r_i - r_j) = |r_i - r_j|² or f(r_i - r_j) = |r_i - r_j|.

Παραδείγματος χάριν, σε πολλά βιολογικά δίκτυα, η ισχύς της αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο κόμβων εξαρτάται από τη φυσική εγγύτητα αυτών των κόμβων. Οι χωρικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των κόμβων μπορούν να διαμορφωθούν ως ένας τυχαίος ευκλείδειος πίνακας, εάν οι κόμβοι τοποθετούνται τυχαία στο χώρο.

Παράδειγμα της κατανομής πιθανότητας των ιδιοτιμών Λ του τυχαίου ευκλείδειου πίνακα που παράγεται από τη συνάρτηση f(r, r′) = exp(ik₀ǀr-r′ǀ)/(k₀ǀr-r′ǀ), με k₀ = 2π/λ₀ και f(r= r′) = 0.

Ιδιότητες

Επειδή οι θέσεις των σημείων {r_i} είναι τυχαίες, τα στοιχεία του πίνακα Aij είναι επίσης τυχαία. Επιπλέον, επειδή τα N×Nστοιχεία καθορίζονται πλήρως από Ν μόνο σημεία και, συνήθως, κάποιος ενδιαφέρεται για N≫d, υπάρχουν ισχυρές συσχετίσεις μεταξύ διαφορετικών στοιχείων.

Ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες

Ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες εμφανίζονται σε διάφορα φυσικά πλαίσια, συμπεριλαμβανομένων των υπόψυκτων υγρών, των φωνονίων σε άτακτα συστήματα και των κυμάτων σε τυχαία μέσα.

Παράδειγμα 1: Ας θεωρήσουμε τον πίνακα Â που παράγεται από τη συνάρτηση f(r, r′) = sin(k₀|r-r′|)/(k₀|r-r′|), με k₀ = 2π/λ₀. Ο πίνακας αυτός είναι ερμιτιανός και οι ιδιοτιμές του Λ είναι πραγματικές. Για Ν σημεία τυχαία κατανεμημένα σε κύβο πλευράς L και όγκου V = L³, μπορεί κανείς να δείξει ότι η κατανομή πιθανότητας του Λ δίνεται κατά προσέγγιση από τον νόμο του Μαρτσένκο-Παστούρ, αν η πυκνότητα των σημείων ρ = N/V υπακούει ρλ₀³ ≤ 1 και 2.8N/(k₀ L)² < 1 (βλέπε σχήμα).

Μη ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες

Αναπτύχθηκε μια θεωρία για την πυκνότητα ιδιοτιμών μεγάλων (N≫1) μη-ερμιτιανών ευκλείδειων τυχαίων πινάκων και εφαρμόστηκε για τη μελέτη του προβλήματος των τυχαίων λέιζερ.

Παράδειγμα 2: Ας θεωρήσουμε τον πίνακα Â που παράγεται από τη συνάρτηση f(r, r′) = exp(ik₀|r-r′|)/(k₀|r-r′|), με k₀ = 2π/λ₀ και f(r= r′) = 0. Ο πίνακας αυτός δεν είναι ερμητικός και οι ιδιοτιμές του Λ είναι μιγαδικές. Η κατανομή πιθανότητας του Λ μπορεί να βρεθεί αναλυτικά αν η πυκνότητα του σημείου ρ = N/V υπακούει ρλ₀³ ≤ 1 και 9N/(8k₀ R)² < 1 (βλέπε σχήμα).

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Golub G. H., van Loan C. F. (1996), Matrix Computations (Johns Hopkins University Press) §4.7—Toeplitz and Related Systems
• Gray R. M., Toeplitz and Circulant Matrices: A Review (Now Publishers)
• Noor, F.; Morgera, S. D. (1992), «Construction of a Hermitian Toeplitz matrix from an arbitrary set of eigenvalues», IEEE Transactions on Signal Processing 40 (8): 2093–2094, doi:10.1109/78.149978 
• Pan, Victor Y. (2001), Structured Matrices and Polynomials: unified superfast algorithms, Birkhäuser, ISBN 978-0817642402 
• Ye, Ke; Lim, Lek-Heng (2016), «Every matrix is a product of Toeplitz matrices», Foundations of Computational Mathematics 16 (3): 577–598, doi:10.1007/s10208-015-9254-z 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Ταυτοτικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Διανυσματικός χώρος
• Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Τριγωνικός πίνακας
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Large Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics: École d'Été de .....
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems
• Random Matrices
• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review