Χρήστης:Rafaella14462/πρόχειρο

Τέσσερις σάκους των τριών σβόλοι δίνει δώδεκα σβόλους (4 × 3 = 12).

Πολλαπλασιασμός μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως κλιμάκωση. Στο παραπάνω κινούμενο σχέδιο, βλέπουμε 2 που πολλαπλασιάζεται με 3, δίνοντας 6 ως αποτέλεσμα

4 × 5 = 20, το ορθογώνιο αποτελείται από 20 τετράγωνα, που έχουν διαστάσεις 4 με 5.

Περιοχή ένα πανί 4.5m × 2.5m = 11.25m²; 4½ × 2½ = 11¼

Πολλαπλασιασμός (συχνά συμβολίζεται με το εγκάρσιο σύμβολο "×") είναι η μαθηματική πράξη της κλιμάκωσης ένος αριθμού από έναν άλλο. Είναι μία από τις τέσσερις βασικές πράξεις στη στοιχειώδη αριθμητική (οι άλλες είναι πρόσθεση, αφαίρεση and διαίρεση).

Επειδή το αποτέλεσμα της κλιμάκωσης από ακέραιους αριθμούς μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα πρόσθεσης κάποιου αριθμού αντιγράφων του αρχικού, το ακέραιο γινόμενο που είναι μεγαλύτερο από 1 μπορεί να υπολογιστεί από επαναλαμβανόμενη πρόσθεση;για παράδειγμα το 3 πολλαπλασιασμένο με 4 (συχνά λέμε και "3 φορές 4") μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας 4 αντίγραφα του 3 μαζί:

$3\times 4=3+3+3+3=12.\!\,$

Εδώ 3 και 4 είναι οι "παράγοντες" και 12 είναι το "γινόμενο".

Οι εκπαιδευτικοί διαφωνούν ως προς το ποιος αριθμός θα πρέπει κανονικά να θεωρηθεί ως ο αριθμός των αντιγράφων, και κατά πόσον ο πολλαπλασιασμός πρέπει ακόμη να παρουσιαστεί ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Για παράδειγμα 3 πολλαπλασιασμένο με 4 μπορεί επίσης να υπολογιστεί με προσθέτωντας 3 αντίγραφα του 4 μαζί:

$3\times 4=4+4+4=12.\!\,$

Ο Πολλαπλασιασμός των ρητών αριθμών (κλάσματα) και πραγματικών αριθμών ορίζεται από συστηματική γενίκευση αυτής της βασικής ιδέας.

Ο Πολλαπλασιασμός μπορεί επίσης να απεικονιστεί ως καταμέτρηση αντικείμενων τοποθετημένων σε ένα ορθογώνιο (για ακέραιους αριθμούς) είτε με την εξεύρεση του εμβαδού ενός ορθογωνίου του οποίου τα μήκη έχουν δοθεί (για τους αριθμούς γενικά). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δεν εξαρτάται από ποια πλευρά θα μετρηθεί πρώτη, το οποίο καταδεικνύει ότι οι ομόσημοι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται μαζί έχουν θετικό αποτέλεσμα.

Σε γενικές γραμμές το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο μετρήσεων δίνει ένα αποτέλεσμα ενός νέου τύπου, ανάλογα με τις μετρήσεις. Για παράδειγμα:

$2.5{\mbox{ meters}}\times 4.5{\mbox{ meters}}=11.25{\mbox{ square meters}},\!\,$

$11{\mbox{ meters/second}}\times 9{\mbox{ seconds}}=99{\mbox{ meters}}.\!\,$

Η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού είναι η διαίρεση. Για παράδειγμα, 4 επί 3, ισούται με 12. Στη συνέχεια, 12 δια το 3 ισούται με 4. Πολλαπλασιασμός με το 3, που ακολουθείται από διαίρεση με το 3, δίδει τον αρχικό αριθμό.

Ο Πολλαπλασιασμός ορίζεται επίσης για άλλους τύπους αριθμών (όπως μιγαδικούς αριθμούς), και για πιο αφηρημένα κατασκευάσματα όπως πίνακες. Για αυτές τις πιο αφηρημένες έννοιες, η σειρά που οι τελεστές πολλαπλασιάζονται σε ορισμένες περιπτώσεις έχει σημασία.

==Συμβολισμοί και ορολογία== {{ Συμβολισμοί και ορολογία}} {{Υπολογισμός}}

το σύμβολο του πολλαπλασιασμού;
(HTML entity is ×)

Ο πολλαπλασιασμός συχνά αναφέρεται με το σύμβολο του πολλαπλασιασμού "x" μεταξύ των όρων;. Το αποτέλεσμα εκφράζεται με ένα ίσον. Για παράδειγμα,

$2\times 3=6$ (Προφορικά, "δύο φορές τρια ισοδυναμεί με έξι")

$3\times 4=12$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

Υπάρχουν αρκετές άλλες κοινές παραστάσεις για τον πολλαπλασιασμό. Πολλές από αυτές έχουν ως στόχο να μειωθεί η σύγχυση μεταξύ του Χ σύμβολου του πολλαπλασιασμού και την κοινώς χρησιμοποιούμενη μεταβλητή x:

• Ο πολλαπλασιασμός μερικές φορές συμβολίζεται είτε με μεσαία τελεία ή με μία κάτω τελεία:

$5\cdot 2\quad {\text{or}}\quad 5\,.\,2$

Η μεσαία τελεία είναι καθιερωμένη στις Ηνωμένες Πολιτείες, στο Ηνωμένο Βασίλειο, και σε άλλες χώρες όπου η κάτω τελεία χρησιμοποιείται ως υποδιαστολή. Σε άλλες χώρες που χρησιμοποιούν το κόμμα ως υποδιαστολή, είτε η τελεία ή μια τελεία μεσαία χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό. Σε διεθνές επίπεδο, η μεσαία τελεία συχνά έχει μία πιο προηγμένη ή επιστημονική χρήση.

• Ο αστερίσκος (όπως στο 5*2) συχνά χρησιμοποιείται στις γλώσσες προγραμματισμούεπειδή υπάρχει σε κάθε πληκτρολόγιο. Αυτή η χρήση προέρχεται από την FORTRAN γλώσσα προγραμματισμού.

• Στην αλγεβρα, ο πολλαπλασιασμός που αφορά μεταβλητές γράφεται συχνά ως μια αντιπαράθεση (π.χ., xy για x επί y ή 5x για πέντε επί x). Αυτή η σημειογραφία μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τις ποσότητες που περιβάλλονται από παρενθέσεις (π.χ., 5(2) ή (5)(2) για πέντε επί δύο).

• Στον πολλαπλασιασμός πινάκων, υπάρχει πράγματι μια διάκριση μεταξύ των συμβόλων του σταυρού και της τελείας. Το σύμβολο του σταυρού δηλώνει γενικά το διανυσματικό γινόμενο, ενώ η τελεία σημαίνει ένα κλιμακωτό πολλαπλασιασμό. Μία παρόμοια σύμβαση διακρίνει ανάμεσα στο εσωτερικό γινόμενο και στο εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται καλούνται γενικά "παράγοντες" ή "πολλαπλασιαστέοι". Όταν σκεφτόμαστε τον πολλαπλασιασμό ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται καλείται "πολλαπλασιαστέος", ενώ ο αριθμός των πολλαπλασίων ονομάζεται "πολλαπλασιαστής". Στην άλγεβρα, ένας αριθμός που είναι ο πολλαπλασιαστής μιας μεταβλητής ή έκφρασης (π.χ., το 3 στο 3xy²) ονομάζεται συντελεστής.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται γινόμενο,και αποτελεί πολλαπλάσιο του κάθε παράγοντα, εάν ο άλλος παράγοντας είναι ένας ακέραιος. Για παράδειγμα, το 15 είναι το γινόμενο του 3 με το 5, και είναι ακόμα ένα πολλαπλάσιο του 3 και ένα πολλαπλάσιο του 5.

Υπολογισμός

Οι κοινές μέθοδοι για τον πολλαπλασιασμό αριθμών χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί απαιτούν ένα πίνακα πολλαπλασιασμού απομνημονευμένων ή υπολογισμένων γινομένων μικρών αριθμών (συνήθως κάθε δύο αριθμούς από 0-9), αλλά η μέθοδος, του Αρχαίου Αιγυπτιακού πολλαπλασιαστικού αλγορίθμου , δεν τον απαιτεί.

Πολλαπλασιάζοντας αριθμούς με περισσότερα από ένα ζευγάρι δεκαδικά ψηφία, με το χέρι είναι κουραστικό και επιρρεπής σε λάθη. Οι κοινοί λογάριθμοιεφευρέθηκαν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς αυτούς. Ο πλάγιος κανόνας επιτρέπει στους αριθμούς να πολλαπλασιάζονται ταχύτατα με περίπου τρεις θέσεις ακρίβειας. Ξεκινώντας στις αρχές του εικοστού αιώνα, μηχανικές υπολογιστικές, όπως το Marchant, καθίστισαν ικανό τον αυτόματο πολλαπλασιασμό έως και 10 ψηφία. Σύγχρονες ηλεκτρονικές υπολογιστικές και αριθμομηχανές έχουν μειώσει σημαντικά την ανάγκη για τον πολλαπλασιασμό με το χέρι.

Ιστορικοί αλγόριθμοι

Μέθοδοι πολλαπλασιασμού καταγράφηκαν στο Αρχαίο Αιγυπτιακό, Αρχαιο Ελληνικό, Αρχαίο Ινδικό και Αρχαίο ΚΙνέζικο πολιτισμό.

Το οστό Ishango,που χρονολογείται περίπου το 18.000 με 20.000 π.Χ, παραπέμπει στη γνώση του πολλαπλασιασμού στην Ανώτερη Παλαιολιθική εποχή στην Κεντρική Αφρική.

Αιγύπτιοι

Η αιγυπτιακή μέθοδος πολλαπλασιασμού των ακεραίων και των κλασμάτων,που τεκμηριώνεται στον Πάπυρο Ahmes , ήταν με διαδοχικές προσθήκες και διπλασιασμό. Για παράδειγμα, για να βρει το γινομενο του 13 και 21 κάποιος έπρεπε να διπλασιάσει το 21 τρεις φορές, κάνοντας δηλαδή 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168. Το πλήρες γινόμενο στη συνέχεια θα μπορούσε να βρεθεί με την προσθήκη των κατάλληλων όρων που βρέθηκαν στην αλληλουχία διπλασιασμού:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Βαβυλώνιοι

Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα sexagesimal μεταθετικό αριθμητικό σύστημα, ανάλογο με τη σύγχρονη εποχή δεκαδικό σύστημα. Έτσι,ο Βαβυλώνιος πολλαπλασιασμός ήταν πολύ παρόμοιος με τον σύγχρονο δεκαδικό πολλαπλασιασμό. Λόγω της σχετικής δυσκολίας του να θυμόμαστε 60 × 60 διαφορετικά γινόμενα, Βαβυλωνίοι μαθηματικοί εφήυραν τους πολλαπλασιαστικούς πίνακες. Οι πίνακες αυτοί αποτελούνταν από έναν κατάλογο των πρώτων είκοσι πολλαπλάσιων ενός ορισμένου αριθμού n : n , 2 n , ..., 20 Ν; ακολουθείμενοι από τα πολλαπλάσια του 10n: 30n 40n, και 50n. Έπειτα για να υπολογίσεις οποιοδήποτε sexagesimal γινόμενο, πες 53n, ένα μονο χρειάζεται να προσθέσεις 50n και 3n υπολογισμένα από τον πίνακα.

Κινέζοι

38 × 76 = 2888

Στο μαθηματικό κείμενο Zhou Bi Suan Jing, που χρονολογείται πριν από το 300 π.Χ., και τα εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη, πολλαπλασιστικοί υπολογισμοί γράφτηκαν με λόγια, παρόλο που οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον Ολοκληρωτικό λογισμό που αφορά μέρος προστιθέμενης αξίας, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση . Αυτός ο δεκαδικός αριθμητικός αλγόριθμος εισήχθει από τον Al Khwarizmi στις αραβικές χώρες στις αρχές του 9ου αιώνα .

Σύγχρονη μέθοδος

γινόμενο του 45 και 256. Σημειώστε οτι η αναλυση του 45 σε αριθμούς αντιστρέφεται στην αριστερή στήλη . Το στάδιο μεταφοράς του πολλαπλασιασμού μπορεί να πραγματοποιηθεί στο τελικό στάδιο του υπολογισμού (με έντονους χαρακτήρες), επιστρέφοντας το τελικό γινόμενο των 45 × 256 = 11520.

Η σύγχρονη μέθοδος του πολλαπλασιασμού με βάση το ινδουιστικό-αραβική σύστημα αρίθμησης περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Brahmagupta.Ο Brahmagupta έδωσε κανόνες για την πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση.Ο Henry Burchard Fine, μετέπειτα καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Princeton , έγραψε τα ακόλουθα:

Οι Ινδοί είναι οι εφευρέτες όχι μόνο του μεταθετικού δεκαδικού συστήματος , αλλά και των περισσότερων δαδικασιών που αφορούν τον κύριο υπολογισμό του συστήματος. Η πρόσθεση και η αφαίρεση που εκτέλεσαν είναι παρόμοιες με αυτές που εκτελούνται στις μέρες μας; ο πολλαπλασιασμός επηρέασε πολλούς τρόπους , μεταξύ αυτών και τον δικό μας ,αλλα η διαίρεση τους ήταν πολύ περίπλοκη.

Υπολογιστικοί Αλγόριθμοι

Η μέθοδος του πολλαπλασιασμού δύο n-ψήφιων αριθμών απαιτεί n² απλούς πολλαπλασιασμούς. αλγόριθμοι πολλαπλασιασμού έχουν σχεδιαστεί ώστε να μειώσουν σημαντικά το χρόνο υπολογισμού κατά τον πολλαπλασιασμό μεγάλων αριθμών. Ειδικότερα για πολύ μεγάλες αριθμητικές μεθόδους στηριζόμενες στον διακριτό μετασχηματισμό Fourier μπορούν να μειώσουν τον αριθμό των απλών πολλαπλασιασμών με τη σειρά του n log₂(n).

Γινόμενα αποστάσεων

Όταν οι δύο μετρήσεις πολλαπλασιάζονται το γινόμενο τους είναι τύπου, εξαρτόμενου με τους τύπους των μετρήσεων. Η γενική θεωρία δίνεται από την διαστατική ανάλυση. Η ανάλυση αυτή συνήθως εφαρμόζεται στη φυσική, αλλά έχει βρει και εφαρμογές στον τομέα των οικονομικών. Κάποιος μπορεί ουσιαστικά να προσθέσει ή να αφαιρέσει ποσότητες ίδιου είδους, αλλά μπορούν να πολλαπλασιάσει ή να διαιρέσει ποσότητες διαφόρων ειδών. Ένα κοινό παράδειγμα είναι ότι πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα με το χρόνο δίνει απόσταση, έτσι ώστε

50 χιλιόμετρα ανα ώρα × 3 ώρες = 150 χιλιόμετρα.

Γινόμενα ακολουθιών

Κεφαλαίο Π σύμβολο

Το γινόμενο μιας ακολουθίας των όρων μπορεί να γραφτεί με το σύμβολο του γινομένου, το οποίο προέρχεται από το κεφαλαίο γράμμα Π στο ελληνικό αλφάβητο. Το νόημα αυτής της σημειογραφίας δίνεται από:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$

Ο δείκτης παρουσιάζει το σύμβολο για μια ψευδομεταβλητή (iσε αυτή την περίπτωση),το οποίο ονομάζεται "δείκτης του πολλαπλασιασμού» μαζί με κατώτερο όριο του ( m ), ενώ ο εκθέτης (εδώ n ) παρέχει το ανώτερο οριο. Το κατώτερο και το ανώτερο όριο είναι εκφράσεις που δηλώνουν ακέραιοι αριθμοί. Οι παράγοντες του γινομένου που λαμβάνονται με τη λήψη της μαθηματικής έκφρασης που ακολουθεί τον φορέα του γινομένου (Π), εφαρμόζοντας τις διαδοχικές ακέραιες τιμές που ακολουθούν τον δείκτη του πολλαπλασιασμού στην μαθηματική έκφραση, ξεκινώντας από το κατώτερο όριο και αυξάνοντας κατά 1 έως και το άνω όριο. Έτσι, για παράδειγμα:

$\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.$

Στην περίπτωση που m = n, το γινόμενο ισούται με την αξία ενός x_m. Εαν m > n, το γινόμενο είναι το ίσο με  1.

Άπειρο Γινόμενο

Κάποιος μπορεί επίσης να εξετάσει το γινόμενα άπειρων όρων; αυτά λέγονται άπειρα γινόμενα. Γι' αυτό, θα αντικαταστήσουμε το n πάνω από το Π με το σύμβολο του απείρου ∞. Το γινόμενο μιας τέτοιας σειράς ορίζεται ως το όριο του γινομένου των πρώτων n όρων, καθώς το n μεγαλώνει χωρίς να δεσμεύεται. Δηλαδή, εξ'ορισμού,

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

Κάποιος μπορεί να αντικαταστήσει ομοίως m με αρνητικό άπειρο, και ορίστε:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),$

εφόσον υπάρχουν και τα δύο όρια.