Συμμετρία ως προς άξονα

Στην γεωμετρία, ένα σημείο ${\rm {A}}$ λέγεται συμμετρικό του σημείου ${\rm {A'}}$ ως προς την ευθεία $\epsilon$, αν η $\epsilon$ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AA'}}$. Η ευθεία $\epsilon$ λέγεται o άξονας συμμετρίας τους.

Το σημείο ${\rm {A'}}$ είναι συμμετρικό του ${\rm {A'}}$ ως προς την ευθεία $\epsilon$.

Το τρίγωνο ${\rm {A'B'\Gamma '}}$ είναι συμμετρικό του ${\rm {AB\Gamma }}$ ως προς την ευθεία $\epsilon$.

Δύο γεωμετρικά σχήματα ${\rm {\Sigma }}$ και ${\rm {\Sigma '}}$ λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία $\epsilon$, αν για κάθε σημείο του ${\rm {\Sigma }}$ το συμμετρικό του ανήκει στο ${\rm {\Sigma '}}$ και αντίστροφα.

Άξονας συμμετρίας

Άξονας συμμετρίας ενός σχήματος $\Sigma$ ονομάζεται μία ευθεία $\epsilon$ για την οποία το $\Sigma$ είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς την $\epsilon$.

Παραδείγματα

• Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας.
• Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι και άξονας συμμετρίας της.
• Ένα τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας, τις δύο διαγωνίους του και τις δύο μεσοκαθέτους των απέναντι πλευρών. Ένα ορθογώνιο έχει μόνο τις δύο μεσοκαθέτους.
• Ένα κανονικό εξάγωνο έχει έξι άξονες συμμετρίας.
• Ένας κύκλος άπειρους άξονες συμμετρίας, κάθε ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.
• Μία έλλειψη (που δεν είναι κύκλος) έχει δύο άξονες συμμετρίας.
• Μία άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $yy'$.

Η διχοτόμος είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας.

Οι τέσσερις άξονες συμμετρίας σε ένα τετράγωνο.

Οι δύο άξονες συμμετρίας μίας έλλειψης.

Οι έξι άξονες συμμετρίας σε ένα κανονικό εξάγωνο.

Ιδιότητες

• Δύο σχήματα συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας είναι ίσα.
• Ένα σχήμα με δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους έχει και κέντρο συμμετρίας, την τομή αυτών των αξόνων.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω ένα σημείο ${\rm {P}}$ και μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο ${\rm {x}}_{0}$ και έχει διεύθυνση ${\vec {d}}$. Τότε, το συμμετρικό του σημείου ${\rm {P}}$ ως προς την ευθεία είναι το σημείο ${\rm {P'}}$ που δίνεται από την σχέση

${\rm {P'}}=2{\rm {x}}_{0}-{\rm {P}}+2\cdot {\frac {({\rm {P}}-{\rm {x}}_{0})\cdot {\vec {d}}}{\sqrt {{\vec {d}}\cdot {\vec {d}}}}}\cdot {\vec {d}}$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρία ως προς σημείο
• Συμμετροδιάμεσος τριγώνου