Άρτια συνάρτηση

συνάρτηση που είναι συμμετρική κατά τον άξονα yy'

Στα μαθηματικά μία συνάρτηση λέγεται άρτια αν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy'. Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέγεται άρτια, αν για κάθε που ανήκει στο ισχύει ότι το ανήκει στο και ότι .[1]:39[2]:287

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών

Παραδείγματα

Επεξεργασία
Παραδείγματα άρτιων συναρτήσεων
Συνάρτηση απόλυτης τιμής.
Παραβολή   με άξονα συμμετρίας τον yy'.
Η συνάρτηση  , που είναι το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων.
Συνάρτηση με ασυνέχειες.
  • Η συνάρτηση του συνημιτόνου, καθώς  .[3]:10
  • Οι συναρτήσεις της μορφής   για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό  , καθώς  .[3]: 10 
  • Η συνάρτηση της απόλυτης τιμής,  , καθώς  .[3]: 10 
  • Η συνάρτηση του υπερβολικού συνημιτόνου  , καθώς  .
  • Η συνάρτηση  , που ορίζεται ως εξής:
 

Χαρακτηριστικά της άρτιας συνάρτησης

Επεξεργασία

Λόγω της ιδιότητάς της, για τη μελέτη της άρτιας συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για   μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.[2]: 287 

Πεδίο ορισμού

Επεξεργασία

Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν το διάστημα   ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα  .

Συνέχεια

Επεξεργασία

Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής (δείτε το παράδειγμα της   παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο  , τότε είναι είναι συνεχής και στο  .

Παραγωγισιμότητα

Επεξεργασία

Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη παραγωγίσιμη (δείτε το παράδειγμα της   παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο  , τότε είναι παραγωγίσιμη στο  . Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιττή συνάρτηση.

Μονοτονία

Επεξεργασία

Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι αντίθετη σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια άρτια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο  , τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα το  . Στο μηδέν, αν ορίζεται μονοτονία σε σύνολο που το περιλαμβάνει, τότε η συνάρτηση είναι μονότονη με αντίθετο είδος μονοτονίας εκατέρωθεν του μηδέν, ενώ η γραφική παράσταση παρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν.

Ασύμπτωτες

Επεξεργασία
 
Άρτια συνάρτηση με ασύμπτωτη την   και όταν   και όταν  .

Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y.

Σύνολο τιμών-Ρίζες

Επεξεργασία

Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το πεδίο των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και με πεδίο των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Κάθε τιμή τη λαμβάνει τουλάχιστον δύο φορές, άρα η άρτια συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Εξαιρείται το  . Αν η συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών, τότε αυτό είναι περιττό, αν  , διαφορετικά είναι άρτιο.

Κοιλοκυρτότητα

Επεξεργασία

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του ίδιου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή άρτια.

Συμμετρίες

Επεξεργασία

Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς τον άξονα y'y.

Σύνθεση συναρτήσεων

Επεξεργασία

Οι παρακάτω συνθέσεις άρτιων και περιττών συναρτήσεων είναι άρτιες συναρτήσεις.[3]: 10 

  • Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
  • Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
  • Το άθροισμα (ή διαφορά) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Κολουντζάκης, Μ.· Παπαχριστόδουλος, Χ. (2015). Ανάλυση Fourier (PDF). ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-360-5. 
  2. 2,0 2,1 Ανδρεαδάκης Στυλιανός· Κατσαργύρης Βασίλειος· Μέτης Στέφανος· Μπρουχούτας Κωνσταντίνος· Παπασταυρίδης Σταύρος· Πολύζος Γεώργιος (2008). Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης. ISBN 960-06-0703-6. 
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 Παπαχρήστου, Κ. Ι. (2015). «Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής» (PDF). Σχολή Ναυτικών Δοκιμων. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2022.