Άρτιες συναρτήσεις
Στα μαθηματικά μία συνάρτηση λέγεται άρτια αν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy'. Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέγεται άρτια, αν για κάθε που ανήκει στο ισχύει ότι το ανήκει στο και ότι .[1]:36
Μαθηματικές Συναρτήσεις | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής | |||||||||
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών | |||||||||
| |||||||||
| |||||||||
|
ΠαραδείγματαΕπεξεργασία
- Η συνάρτηση του συνημιτόνου, καθώς .[2]:10
- Οι συναρτήσεις της μορφής για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό , καθώς .[2]:10
- Η συνάρτηση της απόλυτης τιμής, , καθώς .[2]:10
- Η συνάρτηση του υπερβολικού συνημιτόνου , καθώς .
- Η συνάρτηση , που ορίζεται ως εξής:
- Η συνάρτηση , ως γινόμενο περιττών συναρτήσεων.
Χαρακτηριστικά της άρτιας συνάρτησηςΕπεξεργασία
Λόγω της ιδιότητάς της, για τη μελέτη της άρτιας συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.[3]:287
Πεδίο ορισμούΕπεξεργασία
Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν το διάστημα ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα .
ΣυνέχειαΕπεξεργασία
Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής (δείτε το παράδειγμα της παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο , τότε είναι είναι συνεχής και στο .
ΠαραγωγισιμότηταΕπεξεργασία
Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη παραγωγίσιμη (δείτε το παράδειγμα της παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο , τότε είναι παραγωγίσιμη στο . Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιττή συνάρτηση.
ΜονοτονίαΕπεξεργασία
Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι αντίθετη σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια άρτια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο , τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα το . Στο μηδέν, αν ορίζεται μονοτονία σε σύνολο που το περιλαμβάνει, τότε η συνάρτηση είναι μονότονη με αντίθετο είδος μονοτονίας εκατέρωθεν του μηδέν, ενώ η γραφική παράσταση παρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν.
ΑσύμπτωτεςΕπεξεργασία
Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y.
Σύνολο τιμών-ΡίζεςΕπεξεργασία
Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το πεδίο των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και με πεδίο των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Κάθε τιμή τη λαμβάνει τουλάχιστον δύο φορές, άρα η άρτια συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Εξαιρείται το . Αν η συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών, τότε αυτό είναι περιττό, αν , διαφορετικά είναι άρτιο.
ΚοιλοκυρτότηταΕπεξεργασία
Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του ίδιου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή άρτια.
ΣυμμετρίεςΕπεξεργασία
Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς τον άξονα y'y.
Σύνθεση συναρτήσεωνΕπεξεργασία
Οι παρακάτω συνθέσεις άρτιων και περιττών συναρτήσεων είναι άρτιες συναρτήσεις.[2]:10
- Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
- Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
- Το άθροισμα (ή διαφορά) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.
Δείτε επίσηςΕπεξεργασία
ΠαραπομπέςΕπεξεργασία
- ↑ Κολουντζάκης, Μ.· Παπαχριστόδουλος, Χ. (2015). Ανάλυση Fourier. ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-360-5.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Παπαχρήστου, Κ. Ι. (2015). «Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής» (PDF). Σχολή Ναυτικών Δοκιμων. Ανακτήθηκε στις 9 Αυγούστου 2022.
- ↑ Ανδρεαδάκης, Σ. (2004). Μαθηματικά Γ λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Αθήνα: ΟΕΔΒ. ISBN 9600607036.