Άρτια συνάρτηση

Στα μαθηματικά μία συνάρτηση λέγεται άρτια αν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy'. Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση $f:D\to \mathbb {R}$ με πεδίο ορισμού το $D\subseteq \mathbb {R}$ λέγεται άρτια, αν για κάθε $x$ που ανήκει στο $D$ ισχύει ότι το $-x$ ανήκει στο $D$ και ότι $f(-x)=f(x)$.

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf {y} =f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d$ Ρητή συνάρτηση $y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$ Άρρητη συνάρτηση $y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $y=a^{x}$ Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _{a}(x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο $y=\sin x$ Συνημίτονο $y=\cos x$ Εφαπτομένη $y=\tan x$

Παραδείγματα

Παραδείγματα άρτιων συναρτήσεων

Συνάρτηση απόλυτης τιμής.

Παραβολή $x^{2}-4$ με άξονα συμμετρίας τον yy'.

Η συνάρτηση $x\cdot \sin x$, που είναι το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων.

Συνάρτηση με ασυνέχειες.

• Η συνάρτηση του συνημιτόνου, καθώς $\cos(x)=\cos(-x)$.
• Οι συναρτήσεις της μορφής $f(x)=x^{2\nu }$ για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $\nu \in \mathbb {N}$, καθώς $f(-x)=(-x)^{2\nu }=((-x)^{2})^{\nu }=((x)^{2})^{\nu }=x^{2\nu }=f(x)$.
• Η συνάρτηση της απόλυτης τιμής, $f(x)=|x|$, καθώς $f(-x)=|-x|=|x|=f(x)$.
• Η συνάρτηση του υπερβολικού συνημιτόνου $\cosh(x)={\tfrac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})$, καθώς $\cosh(-x)={\tfrac {1}{2}}\cdot (e^{-x}+e^{x})=\cosh(x)$.
• Η συνάρτηση $g:[-5,5]\to \mathbb {R}$, που ορίζεται ως εξής:

$g(x)={\begin{cases}1&{\text{για }}x\in (-1,1),\\3&{\text{για }}x\in (-3,-1]\cup [1,3),\\6&{\text{για }}x\in [-5,-3]\cup [3,5].\end{cases}}$

• Η συνάρτηση $h(x)=x\cdot \sin(x)$, ως γινόμενο περιττών συναρτήσεων.

Χαρακτηριστικά της άρτιας συνάρτησης

Λόγω της ιδιότητάς της, για τη μελέτη της άρτιας συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για $x$ μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμού

Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν το διάστημα $[2,6)$ ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα $(-6,-2]$.

Συνέχεια

Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής (δείτε το παράδειγμα της $g$ παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο $x_{0}$, τότε είναι είναι συνεχής και στο $-x_{0}$.

Απόδειξη συνέχειας  

Έστω μία συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής στο $x_{0}\in D$, δηλαδή

$\forall \epsilon >0.\exists \delta >0.\forall x.|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$.

(1)

Θα αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο $-x_{0}\in D$.

Θεωρούμε ένα τυχόν $\epsilon >0$. Τότε από το (1), υπάρχει $\delta >0$ ώστε για κάθε $x$ με $|x-x_{0}|<\delta$ ισχύει ότι $|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$. Επομένως, για κάθε $x'=-x$ με $|x'-(-x_{0})|=|x-x_{0}|<\delta$ έχουμε ότι $|f(x')-f(-x_{0})|=|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$. Συνεπώς, η συνάρτηση είναι συνεχής στο $-x_{0}$.

Παραγωγισιμότητα

Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη παραγωγίσιμη (δείτε το παράδειγμα της $g$ παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_{0}$, τότε είναι παραγωγίσιμη στο $-x_{0}$. Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιττή συνάρτηση.

Απόδειξη παραγωγισιμότητας  

Θεωρούμε την άρτια συνάρτηση $f:D\to \mathbb {R}$ και έστω ότι είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}\in D$. Δηλαδή υπάρχει το εξής όριο:

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$.

Θα δείξουμε ότι υπάρχει και το όριο $f'(-x_{0})$.

${\begin{aligned}f'(-x_{0})&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(-x_{0}+h)-f(-x_{0})}{h}}\end{aligned}}$

Αφού η συνάρτηση είναι άρτια,

${\begin{aligned}{\phantom {f'(-x_{0})}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}}\end{aligned}}$

Αλλάζοντας μεταβλητή στο όριο $h'=-h$ (και χρησιμοποιώντας ότι αν $x\in D$ τότε $-x\in D$,

${\begin{aligned}{\phantom {f'(-x_{0})}}&=\lim _{h'\to 0}{\frac {f(x_{0}+h')-f(x_{0})}{-h'}}\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του ορίου

${\begin{aligned}{\phantom {f'(-x_{0})}}&=-\lim _{h'\to 0}{\frac {f(x_{0}+h')-f(x_{0})}{h'}}\\&=-f'(x_{0}).\end{aligned}}$

Επομένως, είναι παραγωγίσιμη στο $-x_{0}\in D$ και η παράγωγος είναι περιττή συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της.

Μονοτονία

Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι αντίθετη σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια άρτια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $(-2,-1]$, τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα το $[1,2)$. Στο μηδέν, αν ορίζεται μονοτονία σε σύνολο που το περιλαμβάνει, τότε η συνάρτηση είναι μονότονη με αντίθετο είδος μονοτονίας εκατέρωθεν του μηδέν, ενώ η γραφική παράσταση παρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν.

Απόδειξη  

Έστω ότι η συνάρτηση $f$ είναι αύξουσα στο $(a,b)\subseteq D$ με $a\geq 0$, δηλαδή για κάθε $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ με $x_{1}<x_{2}$ ισχύει ότι $f(x_{1})<f(x_{2})$. Θα δείξουμε ότι στο $(-b,-a)\subseteq D$ η $f$ είναι φθίνουσα.

Θεωρούμε $x_{1},x_{2}\in (-b,-a)$ με $x_{1}<x_{2}$ έχουμε ότι $-x_{1},-x_{2}\in (a,b)$ και $-x_{1}>-x_{2}$. Αφού η $f$ είναι αύξουσα στο $(a,b)\subseteq D$, έχουμε ότι $f(-x_{1})>f(-x_{2})$. Άρα αφού η συνάρτηση είναι άρτια $f(x_{1})=f(-x_{1})>f(-x_{2})=f(x_{2})$ και έπεται το ζητούμενο.

Αντίστοιχα αν η $f$ είναι φθίνουσα στο $(a,b)\subseteq D$, είναι αύξουσα στο $(-b,-a)\subseteq D$.

Ασύμπτωτες

Άρτια συνάρτηση με ασύμπτωτη την $y=5$ και όταν $x\to \infty$ και όταν $x\to -\infty$.

Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y.

Απόδειξη  

Έστω ότι έχουμε μία ασύμπτωτη στον θετικό άξονα που τείνει στην τιμή $\alpha$, δηλαδή

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\alpha$.

Τότε, επειδή η συνάρτηση είναι άρτια, αλλάζοντας μεταβλητή $x'=-x$, έχουμε ότι

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x'\to \infty }f(-x')=\lim _{x'\to \infty }f(x')=\alpha$.

Σύνολο τιμών-Ρίζες

Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το πεδίο των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και με πεδίο των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Κάθε τιμή τη λαμβάνει τουλάχιστον δύο φορές, άρα η άρτια συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Εξαιρείται το $f(0)$. Αν η συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών, τότε αυτό είναι περιττό, αν $f(0)=0$, διαφορετικά είναι άρτιο.

Κοιλοκυρτότητα

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του ίδιου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή άρτια.

Συμμετρίες

Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς τον άξονα y'y.

Σύνθεση συναρτήσεων

Οι παρακάτω συνθέσεις άρτιων και περιττών συναρτήσεων είναι άρτιες συναρτήσεις.

• Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

Απόδειξη  

Έστω $f,g:D\to \mathbb {R}$ δύο άρτιες συναρτήσεις και έστω $h(x)=g(x)\cdot f(x)$. Τότε,

$h(-x)=g(-x)\cdot f(-x)=g(x)\cdot f(x)=h(x)$,

και συνεπώς η $h$ είναι άρτια.

• Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

Απόδειξη  

Έστω $f,g:D\to \mathbb {R}$ δύο περιττές συναρτήσεις και έστω $h(x)=g(x)\cdot f(x)$. Τότε,

$h(-x)=g(-x)\cdot f(-x)=(-g(x))\cdot (-f(x))=g(x)\cdot f(x)=h(x)$,

και συνεπώς η $h$ είναι άρτια.

• Το άθροισμα (ή διαφορά) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση.

Απόδειξη  

Έστω $f,g:D\to \mathbb {R}$ δύο άρτιες συναρτήσεις και έστω $h(x)=g(x)+f(x)$. Τότε,

$h(-x)=g(-x)+f(-x)=g(x)+f(x)=h(x)$,

και συνεπώς η $h$ είναι άρτια.

Δείτε επίσης

• Περιττή συνάρτηση