Ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ
κάτω φράγμα για την πιθανότητα μία τυχαία μεταβλητή να λαμβάνει μικρές τιμές
Στην θεωρία πιθανοτήτων η ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ (αναφέρεται και ως ανισότητα Paley-Zygmund) λέει ότι για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή και για οποιοδήποτε έχουμε ότι
![{\displaystyle \theta \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fead1e7dceab4be5ab2e91f5108144722daa8c36)
![{\displaystyle \operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X])\geq (1-\theta )^{2}\cdot {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\operatorname {E} [X^{2}]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a302cdc0773ac89f324f67d07e56765ef4ed685)
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Ρέιμοντ Πέιλι και τον Αντόνι Ζίγκμουντ που δημοσίευσαν την ανισότητα το 1932.[1][2]
Απόδειξη
ΕπεξεργασίαΓια τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές και , έχουμε ότι
![{\displaystyle \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef5917286b74b94a270fafbf5d7f7ca378019d8)
![{\displaystyle \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e139b075993f46a7647bdf5ab409c67b8f87f25e)
- .
![{\displaystyle \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}+\mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7a5e8239b1999922ae4d56c64fa233ed4df410)
Επομένως, γράφουμε την αναμενόμενη τιμή του ως
- .
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}]+\operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200275b76ab1f797b9448ad76f772f9ab3d0400f)
Για τον πρώτο όρο, έχουμε από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ότι
()
![{\displaystyle \operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}]\leq (\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {E} [\mathbf {1} _{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}])^{1/2}=(\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]))^{1/2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b375d1d05b255daa679ab7dea8e4eb3ce1270b)
Για τον δεύτερο όρο, έχουμε ότι και επομένως,
![{\displaystyle X\cdot \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb88c17222f7c17f15501d4a8928783ce826bb55)
()
![{\displaystyle \operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} _{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}]\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3067f878dae861cf38d27dff4461f6dbbf643c73)
Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι
- ,
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq (\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]))^{1/2}+\theta \cdot \operatorname {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc1be27e33f44f9dbbe5b35b67914d01a561061)
αναδιατάσσοντας την οποία λαμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.
Επεκτάσεις
ΕπεξεργασίαΔιάφορες επεκτάσεις έχουν προταθεί στην βιβλιογραφία.[3][4][5]
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Ιουλίου 1932). «A note on analytic functions in the unit circle». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28 (3): 266–272. doi:.
- ↑ Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Απριλίου 1932). «On some series of functions, (3)». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28 (2): 190–205. doi:.
- ↑ Petrov, Valentin V. (1 Αυγούστου 2007). «On lower bounds for tail probabilities». Journal of Statistical Planning and Inference 137 (8): 2703–2705. doi:.
- ↑ Bakas, Odysseas (1 Ιουνίου 2019). «Variants of the Inequalities of Paley and Zygmund». Journal of Fourier Analysis and Applications 25 (3): 1113–1133. doi:.
- ↑ Chatterjee, Sourav (Ιουλίου 2019). «A general method for lower bounds on fluctuations of random variables». The Annals of Probability 47 (4): 2140–2171. doi:.