Εικασία του Μπορσούκ
Το πρόβλημα του Μπορσούκ στη γεωμετρία, για ιστορικούς λόγους, ονομάζεται λανθασμένα ως εικασία του Μπορσούκ, είναι ερώτημα στη διακριτή γεωμετρία.
Το πρόβλημα Επεξεργασία
Το 1932 ο Κάρολ Μπορσούκ έδειξε ότι μια συνηθισμένη μπάλα 3 διαστάσεων στον Ευκλείδειο χώρο μπορεί εύκολα να χωρισθεί σε 4 στερεά, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από την μπάλα, και γενικά η d-διάστατη μπάλα μπορεί να καλυφθεί με d + 1 συμπαγή σύνολα διαμέτρων μικρότερες από την μπάλα. Ταυτόχρονα απέδειξε ότι τα υποσύνολα d δεν είναι αρκετά σε γενικές γραμμές. Η απόδειξη βασίζεται στο θεώρημα Μπορσούκ–Ούλαμ. Αυτό οδήγησε τον Μπορσούκ σε μια τόσο γενική ερώτηση:
- Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat;
Αυτό μπορεί να μεταφραστεί ως:
- Το ακόλουθο ερώτημα παραμένει ανοιχτό: κάθε φραγμένο υποσύνολο Ε του χώρου είναι χωρισμένο σε σύνολα , καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από τον Ε;
Το ερώτημα έχει θετική απάντηση στις ακόλουθες περιπτώσεις:
- d = 2 — το οποίο είναι το αρχικό αποτέλεσμα από τον Κάρολ Μπορσούκ (1932).
- d = 3 — εμφανίστηκε από τον Γιούλιαν Πέρκαλ (1947),[1] και ανεξάρτητα, 8 χρόνια αργότερα, από τον Χ. Γ. Έγκλστον (1955).[2] Αργότερα, οι Μπράνκο Γκρηνμπάουμ και Αλαντάρ Χέππες βρήκαν μια απλή απόδειξη.
- Για όλα τα d σε ομαλούς κυρτούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Χούγκο Χαντβίγκερ (1946).[3][4]
- Για όλα τα d σε κεντρικά-συμμετρικούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Α. Σ. Ρίσλινγκ (1971).[5]
- Για όλα τα d σε σώματα εκ περιστροφής — αποδείχθηκε από τον Μπόρις Ντέκστερ (1995).[6]
Το πρόβλημα τελικά λύθηκε το 1993 από τους Τζεφ Καχν και Γκιλ Καλάι, οι οποίοι έδειξαν ότι η γενική απάντηση στο ερώτημα του Μπορσούκ είναι όχι.[7] Η αναπαράστασή τους δείχνει ότι τα d + 1 κομμάτια που δεν επαρκούν για d = 1.325 και για κάθε d > 2.014.
Το αποτέλεσμα τους βελτιώθηκε το 2003 από τους Χίνριχς και Ρίχτερ, που αναπαράστησαν πεπερασμένα σύνολα για το d ≥ 298, το οποίο δεν μπορεί να χωριστεί σε d+11 τμήματα με μικρότερη διάμετρο.
Αφότου ο Αντρέι Β. Μπονταρένκο έδειξε το 2013 ότι η εικασία του Μπορσούκ είναι ψευδής για όλα τα d ≥ 65,[8] [9] το τρέχων καλύτερο όριο, λόγω του Τόμας Γιένριχ, είναι το 64.[10][11]
Εκτός από την εύρεση του ελάχιστου αριθμού δ τέτοιων διαστάσεων, εκτός από τον αριθμό τεμαχίων οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται να βρουν την γενική συμπεριφορά της συνάρτησης . Οι Καχν και Καλάι δείχνουν ότι σε γενικές γραμμές (για το d αυτό είναι αρκετά μεγάλο) ένας χρειάζεται αριθμό τεμαχίων . Αναφέρουν επίσης το άνω όριο από τον Οντέντ Σραμ, ο οποίος έδειξε ότι για κάθε ε, αν το d είναι αρκετά μεγάλο, προκύπτει .[12] Η σωστή τάξη μεγέθους του α(d) είναι ακόμα άγνωστη.[13] Ωστόσο, εικάζεται ότι υπάρχει μια σταθερά c > 1 τέτοια ώστε να προκύπτει για όλα τα d ≥ 1.
Δείτε επίσης Επεξεργασία
- Η Εικασία του Χάντβιγκερ καλύπτει κυρτά σώματα με μικρότερα αντίγραφα του εαυτού τους.
Παραπομπές Επεξεργασία
- ↑ Perkal, Julian (1947), «Sur la subdivision des ensembles en parties de diamètre inférieur», Colloquium Mathematicum 2: 45
- ↑ Eggleston, H. G. (1955), «Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter», Journal of the London Mathematical Society 30: 11–24, doi:
- ↑ Hadwiger, Hugo (1945), «Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers», Commentarii Mathematici Helvetici 18 (1): 73–75, doi:
- ↑ Hadwiger, Hugo (1946), «Mitteilung betreffend meine Note: Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers», Commentarii Mathematici Helvetici 19 (1): 72–73, doi:
- ↑ Riesling, A. S. (1971), «Borsuk's problem in three-dimensional spaces of constant curvature», Ukr. Geom. Sbornik (Kharkov State University (now National University of Kharkiv)) 11: 78–83, http://geometry.karazin.ua/resources/articles/594b744b34d8b035cdea7128bbae7d64.pdf
- ↑ Dekster, Boris (1995), «The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution», Journal of Geometry 52 (1-2): 64–73, doi:
- ↑ Kahn, Jeff; Kalai, Gil (1993), «A counterexample to Borsuk's conjecture», Bulletin of the American Mathematical Society 29 (1): 60–62, doi:
- ↑ Bondarenko, Andriy V. (2013), On Borsuk’s conjecture for two-distance sets
- ↑ Bondarenko, Andriy (2014), «On Borsuk’s Conjecture for Two-Distance Sets», Discrete & Computational Geometry 51 (3): 509–515, doi:
- ↑ Jenrich, Thomas (2013), A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture
- ↑ Jenrich, Thomas; Brouwer, Andries E. (2014), «A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk's Conjecture», Electronic Journal of Combinatorics 21 (4): #P4.29
- ↑ Schramm, Oded (1988), «Illuminating sets of constant width», Mathematika 35 (2): 180–189, doi:
- ↑ Alon, Noga (2002), «Discrete mathematics: methods and challenges», Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Beijing 1: 119–135
Περαιτέρω ανάγνωση Επεξεργασία
- Oleg Pikhurko, Algebraic Methods in Combinatorics, course notes.
- Andrei M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, Mathematical Intelligencer 26 (2004), no. 3, 4–12.
- Raigorodskii, Andreii M. (2008). «Three lectures on the Borsuk partition problem». Στο: Young, Nicholas. Surveys in contemporary mathematics. London Mathematical Society Lecture Note Series. 347. Cambridge University Press. σελίδες 202–247. ISBN 978-0-521-70564-6.
Εξωτερικές συνδέσεις Επεξεργασία
- Weisstein, Eric W. "Εικασία Μπορσούκ". MathWorld.