Ημιτέλειος αριθμός
| Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Έλεγχος ορολογίας Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων. |
Στη θεωρία αριθμών, ημιτέλειος αριθμός (αγγλικά: semiperfect number) ή ψευδοτέλειος αριθμός (αγγλικά: pseudoperfect number) είναι ένας φυσικός αριθμός ν που είναι ίσος με το άθροισμα του συνόλου ή μέρους των κατάλληλων διαιρετών του. Ένας ημιτελής αριθμός που ισούται με το άθροισμα όλων των κατάλληλων διαιρετών του είναι ένας τέλειος αριθμός.
Οι πρώτοι ημιτελείς αριθμοί είναι: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, ... (ακολουθία A005835 στην OEIS).
Ιδιότητες Επεξεργασία
- Κάθε πολλαπλάσιο ενός ημιτελούς αριθμού είναι ημιτελές.[1] Ένας ημιτελής αριθμός που δεν διαιρείται με κανένα μικρότερο ημιτελές αριθμό ονομάζεται πρωτόγονος.
- Κάθε αριθμός της μορφής 2μp για έναν φυσικό αριθμό μ και έναν περιττό πρώτο αριθμό p τέτοιο ώστε p < 2μ+1, είναι επίσης ημιτελής.
- Ειδικότερα, κάθε αριθμός της μορφής 2μ(2μ+1 − 1) είναι ημιτελής, και τέλειος αν ισχύει ότι ο 2μ +1 − 1 είναι πρώτος Μερσέν.
- Ο μικρότερος περιττός ημιτελής αριθμός είναι το 945 (βλέπε, π.χ., Friedman 1993).
- Ένας ημιτελής αριθμός είναι αναγκαστικά είτε τέλειος είτε υπερτέλειος. Ένας άφθονος αριθμός που δεν είναι ημιτελής ονομάζεται περίεργος αριθμός.
- Με εξαίρεση του 2, όλοι οι κύριοι ψευδοτέλειοι αριθμοί είναι ημιτελείς.
- Κάθε πρακτικός αριθμός που δεν είναι δύναμη του δύο είναι ημιτελής.
- Η φυσική πυκνότητα του συνόλου των ημιτελών αριθμών υπάρχει.[2]
Αρχικοί ημιτελείς αριθμοί Επεξεργασία
Ένας πρωτόγονος ημιτελής αριθμός (ονομάζεται επίσης και πρωτόγονος ψευδοτέλειος αριθμός, αμείωτος ημιτελής αριθμός ή αμείωτος ψευδοτέλειος αριθμός) είναι ένας ημιτελής αριθμός που δεν έχει ημιτελή κατάλληλο διαιρέτη.[2]
Οι πρώτοι πρωτόγονοι ημιτελείς αριθμοί είναι: 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, ... (ακολουθία A006036 στην OEIS).
Υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί. Όλοι οι αριθμοί της μορφής 2μp, με p έναν πρώτο μεταξύ του 2μ και του 2μ+1, είναι πρωτόγονοι ημιτελείς, αλλά αυτή δεν είναι η μόνη μορφή: για παράδειγμα, το 770.[1][2] Υπάρχουν απείρως πολλοί περιττοί πρωτόγονοι ημιτελείς αριθμοί, με τον μικρότερο το 945, ένα αποτέλεσμα του Πολ Έρντος:[2] υπάρχουν επίσης απείρως πολλοί πρωτόγονοι ημιτελείς αριθμοί που δεν είναι αρμονικοί διαιρέτες.[1]
Κάθε ημιτελής αριθμός είναι πολλαπλάσιο ενός πρωτόγονου ημιτελή αριθμού.
Δείτε επίσης Επεξεργασία
- Αριθμός Erdős – Nicolas
Σημειώσεις Επεξεργασία
Βιβλιογραφικές αναφορές Επεξεργασία
- Friedman, Charles N. (1993). «Sums of divisors and Egyptian fractions». Journal of Number Theory 44 (3): 328–339. doi:. MR 1233293. Zbl 0781.11015. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-02-10. https://web.archive.org/web/20120210165648/http://dell5.ma.utexas.edu/users/friedman/divisors.ps.
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7. Section B2.
- Sierpiński, Wacław (1965). «Sur les nombres pseudoparfaits» (στα γαλλικά). Mat. Vesn.. Nouvelle Série 2 (17): 212–213. MR 199147. Zbl 0161.04402.
- Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni (1972). «Perfect, semiperfect and Ore numbers». Bull. Soc. Math. Grèce. Nouvelle Série 13: 12–22. MR 360455. Zbl 0266.10012.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι Επεξεργασία
- Weisstein, Eric W., "Pseudoperfect Number" από το MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Primitive semiperfect number" από το MathWorld.