Περίεργος αριθμός

Στη θεωρία αριθμών, ένας περίεργος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι υπερτέλειος αλλά όχι ημιτέλειος.

Με άλλα λόγια, το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών (διαιρέτες συμπεριλαμβανομένου του 1 αλλά όχι του ίδιου) του αριθμού είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό, αλλά κανένα υποσύνολο αυτών των διαιρετών δεν αθροίζεται στον ίδιο τον αριθμό.

Παραδείγματα

Ο μικρότερος περίεργος αριθμός είναι το 70. Οι κατάλληλοι διαιρέτες του είναι 1, 2, 5, 7, 10, 14 και 35. Αυτοί οι αριθμοί έχουν άθροισμα 74, αλλά κανένα υποσύνολο από αυτά έχει άθροισμα 70. Ο αριθμός 12, για παράδειγμα, είναι άφθονος αλλά όχι περίεργος, επειδή οι κατάλληλοι διαιρέτες του 12 είναι 1, 2, 3, 4 και 6, οι οποίοι αθροίζονται σε 16. Αλλά 2 + 4 + 6 = 12.

Οι πρώτοι περίεργοι αριθμοί είναι:

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ... (ακολουθία A006037 στην OEIS) .

Ιδιότητες

Υπάρχουν απείρως πολλοί περίεργοι αριθμοί. Για παράδειγμα, το 70p είναι παράξενο για όλους τους πρώτους με p ≥ 149. Στην πραγματικότητα, το σύνολο των περίεργων αριθμών έχει θετική ασυμπτωτική πυκνότητα.

Δεν είναι γνωστό εάν υπάρχουν περιττοί παράξενοι αριθμοί. Εάν ναι, πρέπει να είναι μεγαλύτεροι από 10²¹.

Ο Sidney Kravitz έχει δείξει ότι για κ έναν θετικό ακέραιο αριθμό, Q έναν πρώτο που υπερβαίνει το 2^κ, και

$\mathrm {P} ={\frac {2^{\kappa }Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{\kappa }}}$

επίσης έναν πρώτο που είναι μεγαλύτερος από 2^κ, τότε

$\nu =2^{\kappa -1}Q\mathrm {P}$

είναι ένας περίεργος αριθμός. Με αυτόν τον τύπο, βρήκε έναν μεγάλο περίεργο αριθμό:

$\nu =2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\ \approx \ 2\cdot 10^{52}.$

Πρωτόγονοι περίεργοι αριθμοί

Μια ιδιότητα των περίεργων αριθμών είναι ότι αν το ν είναι περίεργος και το p είναι ένας πρώτος μεγαλύτερος από το άθροισμα των διαιρετών σ(ν), τότε το pν είναι επίσης περίεργος. Αυτό οδηγεί στον ορισμό των πρωτόγονων περίεργων αριθμών, δηλαδή περίεργων αριθμών που δεν είναι πολλαπλάσια άλλων περίεργων αριθμών (ακολουθία A002975 στην OEIS). Υπάρχουν μόνο 24 πρωτόγονοι περίεργοι αριθμοί μικρότεροι από ένα εκατομμύριο, σε σύγκριση με 1765 περίεργους αριθμούς μέχρι εκείνο το όριο. Η κατασκευή του Kravitz αποδίδει πρωτόγονους περίεργους αριθμούς, αφού όλοι οι περίεργοι αριθμοί της μορφής $2^{\kappa }\mathrm {P} Q$ είναι πρωτόγονοι, αλλά η ύπαρξη απείρως πολλών κ και Q που αποδίδουν έναν πρώτο αριθμό Ρ δεν είναι εγγυημένη. Υποτίθεται ότι υπάρχουν άπειροι πρωτόγονοι περίεργοι αριθμοί και ο Melfi έδειξε ότι η απειρότητα των πρωτόγονων περίεργων αριθμών είναι συνέπεια της εικασίας του Κραμέρ. Έχουν βρεθεί πρωτόγονοι περίεργοι αριθμοί με έως και 16 πρώτους παράγοντες και 14.712 ψηφία.

Δείτε επίσης

• Άθικτος αριθμός

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Weird number" από το MathWorld.