Κινηματική

Η Κινηματική (Kinematics, απ'το ελληνικό κινεῖν) είναι κλάδος της μηχανικής που περιγράφει την κίνηση των σωμάτων αδιαφορώντας για τη μάζα τους ή τις αιτίες, δυνάμεις, που προκαλούν την κίνησή τους. Εν αντιθέσει, με τη Δυναμική που λαμβάνει υπόψιν της και τη μάζα και τις δυνάμεις που ενεργούν στα σώματα και την αλληλεπίδραση τους που τελικά προκαλούν την κίνηση των σωμάτων καθώς και τον τρόπο της κίνησης της ύλης.

Γενικά η Φυσική είναι η επιστήμη που μελετά την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων. Στην έρευνα και μελέτη αυτή κυριαρχούν δύο γεωμετρικές έννοιες η "θέση" και το "μήκος". Αν σ΄ αυτές προστεθεί η έννοια του "χρόνου" τότε η όλη μελέτη ανάγεται στο αντικείμενο της "Κινηματικής". Συνεπώς η Κινηματική είναι η γεωμετρία της κίνησης. Υπάρχουν όμως και διαδικασίες τέτοιες μη αντιληπτές άμεσα όπως η κίνηση των ηλεκτρονίων, των πλανητών, των φορτίων, των μορίων των αερίων που προκαλούν πίεση κ.λ.π.

Στις τελευταίες αυτές περιπτώσεις έρχεται η δυναμική, κλάδος επίσης της Μηχανικής που εξετάζει εκτός τις παραπάνω βασικές έννοιες και τις έννοιες της μάζας, και της δύναμης αιτιολογώντας έτσι τη κίνηση της ύλης. Η θέση μετράται σε σχέση με ένα σύστημα συντεταγμένων. Ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του σώματος. Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι δύο βασικές ποσότητες που περιγράφουν πως μεταβάλλεται η θέση ενός σώματος.

Η πιο απλή εφαρμογή της κινηματικής είναι η μελέτη της μεταφορικής κίνησης των σημειακών σωμάτων (γραμμική κινηματική). Η περιγραφή της περιστροφής (περιστροφική κινηματική) είναι πιο πολύπλοκη. Η περιγραφή της κίνησης ενός μηχανικού στερεού γίνεται χρησιμοποιώντας τόσο γραμμική όσο και περιστροφική κινηματική (κινηματική του στερεού σώματος). Μια πιο περίπλοκη περίπτωση είναι η μελέτη της κίνησης ενός συστήματος σωμάτων, πιθανώς ενωμένα μεταξύ τους με μηχανικούς δεσμούς. Η περιγραφή της κίνησης της ρευστών, που είναι περισσότερο περίπλοκη, δεν περιγράφεται μέσα στο πλαίσιο της κινηματικής, αλλά αποτελεί κύριο αντικείμενο μελέτης της Υδροδυναμικής.

Μεταφορική κίνηση

Γραμμική (ή μεταφορική) κινηματική είναι η περιγραφή της κίνησης στον χώρο ενός σημείου και της τροχιάς του (που μπορεί να είναι ευθύγραμμη ή καμπυλόγραμμη) και περιλαμβάνει τον ορισμό και τη χρήση των εξής τριών ποσοτήτων:

(Γραμμική) θέση

(Γραμμική) ταχύτητα

(Γραμμική) επιτάχυνση

Σχετική ταχύτητα

Κυρίως άρθρο: Σχετική ταχύτητα

Για να περιγράψουμε την κίνηση ενός αντικειμένου Α σε σχέση με ένα αντικείμενο Ο, όταν ξέρουμε κάθε ένα πώς κινείται σε σχέση με ένα αντικείμενο Β, χρησιμοποιούμε την εξής εξίσωση που περιλαμβάνει διανύσματα και πρόσθεση διανυσμάτων:

${\vec {r_{A/O}}}={\vec {r_{B/O}}}+{\vec {r_{A/B}}}\,\!$

Η παραπάνω εξίσωση σχετικής κίνησης δηλώνει ότι η κίνηση του Α σχετικά με το Ο είναι ίση με την κίνηση του Β σχετικά με το Ο συν την κίνηση του Α σχετικά με το Β.

Για παράδειγμα, έστω ότι η Άννα κινείται με ταχύτητα ${\vec {V_{A}}}$ και ο Βασίλης κινείται με ταχύτητα ${\vec {V_{B}}}$, με την κάθε ταχύτητα να δίνεται σχετικά με το έδαφος. Για να βρούμε πόσο γρήγορα κινείται η Άννα σε σχέση με τον Βασική (αυτή την ονομάζουμε ταχύτητα ${\vec {V_{A/B}}}$), η πάνω εξίσωση δίνει:

${\vec {V_{A}}}={\vec {V_{B}}}+{\vec {V_{A/B}}}\,\!.$

Για να υπολογίσουμε το ${\vec {V_{A/B}}}$ απλώς απομονώνουμε τον άγνωστο και η παραπάνω εξίσωση δίνει:

${\vec {V_{A/B}}}={\vec {V_{A}}}-{\vec {V_{B}}}\,\!.$

Με ταχύτητες συγκρίσιμες με την ταχύτητα του φωτός, χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις σχετικής κίνησης που βρίσκονται στην ειδική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν και όχι με τις παραπάνω εξισώσεις σχετικής κίνησης.

Εξισώσεις της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης

Ένα αντικείμενο που κινείται με σταθερή επιτάχυνση λέμε ότι κάνει ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (Ομ.Επιτ.Κιν.). Η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με τέσσερις απλές αλγεβρικές εξισώσεις:

$\,x_{f}-x_{i}=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}\qquad x_{f}-x_{i}={\frac {1}{2}}(v_{f}+v_{i})t$ $\,v_{f}=v_{i}+at\qquad v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})$

όπου v_i και v_f είναι η αρχική και τελική ταχύτητα αντίστοιχα, x_i and x_f είναι η αρχική και η τελική θέση αντίστοιχα σε σχέση με έναν άξονα αναφοράς, a είναι η σταθερή επιτάχυνση, και t είναι το χρονικό διάστημα που πέρασε για να φτάσει το αντικείμενο απ' την αρχική στη τελική θέση.

Παράδειγμα: Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη πτωτική κίνηση σε μία διάσταση

Ένα αντικείμενο βάλλεται προς τα πάνω, φτάνει στο απόγειο της κίνησής του και αρχίζει την πτώση του υπό μια σταθερή επιτάχυνση της τάξης των -9.81 m/s².

Ας θεωρήσουμε ένα αντικείμενο που βάλλεται ευθύγραμμα προς τα πάνω και ξαναπέφτει στο έδαφος έτσι ώστε η τροχιά του να είναι ευθεία γραμμή. Αν θεωρήσουμε την πάνω κατεύθυνση ως τον θετικό άξονα, το σώμα δέχεται μια σταθερή επιτάχυνση με αλγεβρική τιμή περίπου -9.81 m/s². Γι' αυτό η κίνησή του μπορεί να περιγραφεί με τις εξισώσεις τις ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης.

Υπάρχουν αρκετές ενδιαφέρουσες ερωτήσεις που θα μπορούσαμε να κάνουμε για την κίνηση του σωματιδίου: Πόσο θα βρίσκεται στον αέρα; Σε τι ύψος θα φτάσει πριν αρχίσει να πέφτει; Ποια θα είναι η τελική του ταχύτητα όταν φτάσει στο έδαφος; Για το συγκεκριμένο παράδειγμα ας θεωρήσουμε ότι η αρχική ταχύτητα του σωματιδίου είναι +50 m/s.

Πόσο θα βρίσκεται στον αέρα;

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση χρησιμοποιούμε τον τύπο:

$x_{f}-x_{i}=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}.$

Εφόσον η ερώτηση αναφέρεται στο χρονικό διάστημα μεταξύ της αποχώρησής του απ' το έδαφος και της κρούσης του με το έδαφος, η μετατόπισή του είναι μηδέν.

$0=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}=t(v_{i}+{\frac {1}{2}}at)$

Βρίσκουμε δύο λύσεις για το t. Η μία είναι ότι το χρονικό διάστημα είναι μηδέν. Αυτό είναι επίσης σωστό, καθώς την πρώτη χρονική στιγμή που το σώμα βρίσκεται στο έδαφος είναι τη χρονική στιγμή μηδέν: όταν αρχίζει να κινείται. Η απάντηση όμως που είναι δεκτή είναι

$t=-{\frac {2v_{i}}{a}}=-{\frac {2*50}{-9.81}}=10.2\ s$

Σε τι ύψος θα φτάσει πριν αρχίσει να πέφτει;

Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το σώμα έχει ταχύτητα μηδέν στο απόγειο της τροχιάς του. Γι' αυτό η εξίσωση που θα χρησιμοποιήσουμε είναι:

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})$

Αν η αρχή του συστήματος συντεταγμένων μας είναι το έδαφος, τότε το $x_{i}$ είναι μηδέν. Οπότε λύνουμε ως προς $x_{f}$ και αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές:

$x_{f}={\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2a}}+x_{i}={\frac {0-50^{2}}{2*-9.81}}+0=127.55\ m$

Ποια θα είναι η τελική του ταχύτητα όταν φτάσει στο έδαφος;

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι το σώμα έχει αρχική ταχύτητα μηδέν στο απόγειο της κίνησής του πριν αρχίσει να πέφτει. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση που χρησιμοποιήσαμε πριν, χρησιμοποιώντας την τιμή 127.55 m για το $x_{i}$.

$v_{f}={\sqrt {v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})}}={\sqrt {0^{2}+2(-9.81)(0-127.55)}}=50\ m/s$

Βλέπουμε ότι η τελική και αρχική ταχύτητα είναι ίδιες, κάτι βέβαια που συμφωνεί και με την αρχή διατήρησης της ενέργειας.

Παράδειγμα: Βολή βλήματος σε δύο διαστάσεις

Ένα αντικείμενο βάλλεται υπό γωνία $\theta$ απ'το έδαφος και ακολουθεί παραβολική τροχιά.

Ας υποθέσουμε ότι ένα βλήμα βάλλεται υπό γωνία $\theta$ απ' το έδαφος και όχι κάθετα. Το αντικείμενο θα ακολουθήσει τότε παραβολική τροχιά, και η οριζόντια κίνησή του μπορεί να μελετηθεί ανεξάρτητα απ' την κάθετη κίνησή του (Αρχή της επαλληλίας).

Εξίσωση της τροχιάς

Εξίσωση της τροχιάς ονομάζεται μία σχέση y = f(x) (y η κατακόρυφη μετατόπιση και x η οριζόντια μετατόπιση), δηλαδή μία σχέση όπου δεν υπάρχει η μεταβλητή του χρόνου και η μετατόπιση στον ένα άξονα μπορεί να υπολογιστεί με μοναδικό δεδομένο τη μετατόπιση στον άλλο άξονα. Για να προκύψει η εξίσωση της τροχιάς πρέπει να γίνει απαλοιφή του χρόνου στις εξισώσεις της κινηματικής.

Για τον οριζόντιο άξονα έχουμε:

$x=v_{i}\cos \theta \ t\Leftrightarrow \ t={x \over v_{i}\cos \theta }$

Για τον κατακόρυφο άξονα έχουμε:

$y=v_{i}\sin \theta \ t-{1 \over 2}at^{2}$

Κάνοντας αντικατάσταση του t απ' την πρώτη εξίσωση έχουμε:

$y=v_{i}\sin \theta ({x \over v_{i}\cos \theta })-{1 \over 2}a({x \over v_{i}\cos \theta })^{2}$

δηλαδή εξίσωση της μορφής $y=\beta x+\kappa x^{2}$, που είναι εξίσωση παραβολής.

Ποιο θα είναι το βεληνεκές του;

Βεληνεκές ονομάζουμε την απόσταση που θα διανύσει πριν πέσει στο έδαφος. Για τις ανάγκες του παραδείγματος υποθέτουμε ότι το αντικείμενο βάλλεται με αρχική ταχύτητα 50 m/s και υπό γωνία 30 μοιρών απ' τον ορίζοντα. Το αντικείμενο δέχεται την επιτάχυνση της βαρύτητας με τιμή -9.81 m/s² στην κάθετη διεύθυνση και καθόλου επιτάχυνση στην οριζόντια διεύθυνση. Γι' αυτό, η οριζόντια μετατόπισή του είναι

$\Delta x=x_{f}-x_{i}=v_{i}\cos \theta \ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=v_{i}\cos \theta \ t$, όπως προκύπτει απ' την ανάλυση της ταχύτητας σε δύο συνιστώσες παράλληλες η κάθε μία στον οριζόντιο και τον κάθετο άξονα.

Για να λύσουμε την εξίσωση, πρέπει να βρούμε το t. Αυτό θα γίνει αναλύοντας την κίνηση στην κάθετη κατεύθυνση. Αν υποθέσουμε ότι η κάθετη μετατόπιση είναι μηδέν, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια διαδικασία που χρησιμοποιήσαμε και στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση για να βρούμε το t.

$0=v_{i}\sin \theta \ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=t(v_{i}\sin \theta +{\frac {1}{2}}at)$

Τώρα λύνουμε ως προς t και αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση στο αρχικό τύπο για την οριζόντια μετατόπιση. (Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική ταυτότητα $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$)

$\Delta x=v_{i}\cos \theta \left({\frac {-2v_{i}\sin \theta }{a}}\right)=-{\frac {v_{i}^{2}\sin 2\theta }{a}}=220.70\ m$

Κυκλική κίνηση

Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας έχει κατεύθυνση προς τα πάνω για αριστερόστροφη περιστροφή και προς τα κάτω για δεξιόστροφη περιστροφή, όπως ορίζει ο κανόνας του δεξιού χεριού.

Δείτε επίσης κυκλική κίνηση.

Περιστροφική κινηματική είναι η περιγραφή της περιστροφής ενός αντικειμένου και περιέχει τον ορισμό και την χρήση των εξής τριών ποσοτήτων:

Γωνιακή θέση: Αν ένα διάνυσμα οριστεί ως η προσανατολισμένη απόστασή του απ' τον άξονα περιστροφής (τον οποίο θεωρούμε σημείο αναφοράς) ενός σημειακού σημείου, η γωνιακή θέση αυτού του σημείου είναι η προσανατολισμένη γωνία θ από έναν άξονα αναφοράς (π.χ. τον θετικό ημιάξονα των x) αυτού του σημείου. Μια προσανατολισμένη γωνία είναι η γωνία που διαγράφηκε από έναν εκλεγμένο άξονα περιστροφής και κατά μία εκλεγμένη φορά περιστροφής ως θετική. Στην κινηματική των δύο διαστάσεων (όπως στην περιγραφή των πλανητών), ο άξονας περιστροφής είναι συνήθως το σημείο αναφοράς και αναπαρίσταται με το σημείο περιστροφής (ή κέντρο της κίνησης), και η φορά περιστροφής αναπαρίσταται με το πρόσημο της γωνίας (παραδεχόμαστε ότι το θετικό πρόσημο σημαίνει αριστερόστροφη φορά περιστροφής). Η γωνιακή μετατόπιση μπορεί να θεωρηθεί ως η σχετική θέση μεταξύ δύο σημείων και χρησιμοποιείται για την περιγραφή της κίνησης. Αποτελεί την προσανατολισμένη γωνία που διαγράφηκε απ' το παραπάνω σημείο (ή διάνυσμα) από μια γωνιακή θέση σε μια άλλη.

Γωνιακή ταχύτητα: Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ${\vec {\omega }}$ είναι ο ρυθμός με τον οποίο η γωνιακή θέση $\theta$ αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο t:

$\mathbf {\omega } ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$

Γωνιακή επιτάχυνση: Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης ${\vec {\alpha }}$ είναι ο ρυθμός με τον οποίο η γωνιακή ταχύτητα ${\vec {\omega }}$ αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο t:

$\mathbf {\alpha } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\omega } }{\mathrm {d} t}}$

Οι εξισώσεις της γραμμικής κινηματικής μπορούν να επεκταθούν και για την περιστροφική κινηματική με αλλαγή των αντίστοιχων μεταβλητών:

$\,\!\theta _{f}-\theta _{i}=\omega _{i}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}\qquad \theta _{f}-\theta _{i}={\frac {1}{2}}(\omega _{f}+\omega _{i})t$ $\,\!\omega _{f}=\omega _{i}+\alpha t\qquad \alpha ={\frac {\omega _{f}-\omega _{i}}{t}}\qquad \omega _{f}^{2}=\omega _{i}^{2}+2\alpha (\theta _{f}-\theta _{i})$

.

Εδώ το $\,\!\theta _{i}$ και το $\,\!\theta _{f}$ είναι αντίστοιχα η αρχική και η τελική γωνιακή θέση, $\,\!\omega _{i}$ και $\,\!\omega _{f}$ είναι αντίστοιχα η αρχική και η τελική γωνιακή ταχύτητα, και $\,\!\alpha$ είναι η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν και η θέση στον χώρο και η ταχύτητα στο χώρο είναι διανύσματα, όπως βέβαια είναι και η γωνιακή ταχύτητα, η γωνία δεν είναι διάνυσμα.

Συστήματα συντεταγμένων

Σε κάθε περίπτωση κίνησης, το χρησιμότερο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται απ' τις συνθήκες υπό τις οποίες γίνεται η κίνηση ή απ' τη γεωμετρική φύση της δύναμης που προκαλεί ή επηρεάζει την κίνηση. Συνεπώς για να περιγράψουμε την κίνηση μιας χάντρας που είναι περιορισμένη να κινείται σε ένα στεφάνι, η πιο χρήσιμη συντεταγμένη θα είναι η γωνία που σχηματίζει αναφορικά με το κέντρο του στεφανιού. Παρομοίως, για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σωματιδίου που κάνει κυκλική κίνηση λόγω της επίδρασης μιας κεντρομόλου δύναμης, το πιο χρήσιμο σύστημα συντεταγμένων είναι οι πολικές συντεταγμένες.

Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων

Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων τα διανύσματα εκφράζονται ως άθροισμα συντεταγμένων στους x, y και z άξονες και τα σώματα που μελετάμε δεν περιστρέφονται. Συνήθως i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των x, j το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των y, και k το μοναδιαίο διάνυσμα στον άξονα των z.

Το διάνυσμα θέσης, s (ή r), το διάνυσμα της ταχύτητας, v, και το διάνυσμα της επιτάχυνσης, a εκφράζονται με την χρήση ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων ως εξής:

${\vec {s}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}\,\!$

${\vec {v}}={\dot {s}}={\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}}+{\dot {z}}{\vec {k}}\,\!$

${\vec {a}}={\ddot {s}}={\ddot {x}}{\vec {i}}+{\ddot {y}}{\vec {j}}+{\ddot {z}}{\vec {k}}\,\!$

Σημείωση: ${\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$ , ${\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$

Περιστροφικό σύστημα αναφοράς δύο διαστάσεων

Αυτό το σύστημα αναφοράς περιγράφει μόνο την κυκλική κίνηση.

Αυτό το σύστημα συντεταγμένων βασίζεται σε τρία κάθετα μοναδιαία διανύσματα: το διάνυσμα i και το διάνυσμα j που σχηματίζουν ένα επίπεδο στο οποίο κείται το κινούμενο σώμα, και το διάνυσμα k γύρω απ' το οποίο λαμβάνει χώρα η περιστροφή. Σε αντίθεση με τις ορθοκανονικές συντεταγμένες, που μελετάμε ένα σημείο που δεν περιστρέφεται, το αντικείμενο μελέτης μπορεί περιστρέφεται και να μεταφέρεται.

Παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων

Τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης ενός δοσμένου σημείου μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας αυτό το σύστημα αναφοράς, αλλά πρέπει να είμαστε λίγο πιο προσεκτικοί στη μελέτη μας απ' ό,τι στις ορθοκανονικές συντεταγμένες. Εφόσον το σημείο μελέτης περιστρέφεται, πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας τις παραγώγους των μοναδιαίων διανυσμάτων όταν παραγωγίζουμε οποιοδήποτε απ' αυτά τα διανύσματα. Αν η αρχή του συστήματος περιστρέφεται με ρυθμό $\omega$ αριστερόστροφα (αυτό σημαίνει $\omega$k χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού) τότε οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι οι εξής:

${\dot {\vec {i}}}=\omega {\vec {k}}\times {\vec {i}}=\omega {\vec {j}}$

${\dot {\vec {j}}}=\omega {\vec {k}}\times {\vec {j}}=-\omega {\vec {i}}$

Θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση

Χρησιμοποιώντας αυτές τις παραπάνω σχέσεις, μπορούμε να μελετήσουμε τα διανύσματα θέσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός σωματιδίου χρησιμοποιώντας αυτό το πλαίσιο αναφοράς.

Θέση

Η θέση είναι:

${\vec {s}}=x{\vec {j}}$

Δηλαδή απέχει την απόσταση του από την αρχή και στην κατεύθυνση που απέχει από καθ ένα απ' τα διανύσματα θέσης.

Ταχύτητα

Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς τον χρόνο:

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (x{\vec {i}})}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} (y{\vec {j}})}{\mathrm {d} t}}$

Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, αυτό είναι:

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {i}}+x{\dot {\vec {i}}}+{\dot {y}}{\vec {j}}+y{\dot {\vec {j}}}$

Που απ' τους παραπάνω τύπους αυτό γίνεται:

${\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {i}}+x\omega {\vec {j}}+{\dot {y}}{\vec {j}}-y\omega {\vec {i}}=({\dot {x}}-y\omega ){\vec {i}}+({\dot {y}}+x\omega ){\vec {j}}$

ή ισοδύναμα

${\vec {v}}=({\dot {x}}{\vec {i}}+{\dot {y}}{\vec {j}})+(y{\dot {\vec {j}}}+x{\dot {\vec {i}}})={\vec {v}}_{rel}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

όπου ${\vec {v}}_{rel}$ είναι η ταχύτητα του σωματιδίου σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων.

Επιτάχυνση

Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας.

Ξέρουμε ότι:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{rel}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{\mathrm {d} t}}$

Ας εξετάσουμε το μέρος ${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{rel}}{\mathrm {d} t}}$. Το ${\vec {v}}_{rel}$ έχει δύο μέρη των οποίων θέλουμε να βρούμε την παράγωγο: την σχετική αλλαγή στην ταχύτητα (${\vec {a}}_{rel}$), και την αλλαγή σε αναφορά με το σύστημα συντεταγμένων ($\omega \times {\vec {v}}_{rel}$).

${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{rel}}{\mathrm {d} t}}={\vec {a}}_{rel}+\omega \times {\vec {v}}_{rel}$

Στη συνέχεια ας εξετάσουμε το ${\frac {\mathrm {d} ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{\mathrm {d} t}}$. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας:

${\frac {\mathrm {d} ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {r}}}$

${\dot {\vec {r}}}$ ξέρουμε από τα παραπάνω:

${\frac {\mathrm {d} ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}$

Οπότε τελικά έχουμε:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{rel}+\omega \times {\vec {v}}_{rel}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rel}$

Και συμπτύσσονταν τους όρους:

${\vec {a}}={\vec {a}}_{rel}+2(\omega \times {\vec {v}}_{rel})+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

Συνθήκες κινηματικής

Μια συνθήκη κινηματικής είναι μια οποιαδήποτε κατάσταση που αφορά τις ιδιότητες ενός δυναμικού συστήματος που ισχύει καθ' όλη τη διάρκεια της μελέτης μας. Παρακάτω είναι μερικά κοινά παραδείγματα:

Κύλιση χωρίς ολίσθηση

Ένα αντικείμενο που κυλίεται σε μια επιφάνεια χωρίς να ολισθαίνει προϋποθέτει ότι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του ισούται με το εξωτερικό γινόμενο της γωνιακής του ταχύτητας με ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο επαφής και πέρας το κέντρο μάζας :

$v_{G}(t)=\omega \times r_{G/O}\,\!$

Για την περίπτωση που δεν υπερπηδά εμπόδια ή δεν γυρίζει πίσω, αυτό απλοποιείται σε v = R ω .

Μη εκτατό νήμα

Αυτή είναι η περίπτωση όπου σώματα συνδέονται μεταξύ τους με ένα νήμα που παραμένει τεντωμένο και δεν μπορεί να αλλάξει μήκος (μη εκτατό, μη ελαστικό νήμα). Η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται είναι ότι το άθροισμα όλων των μερών του νήματος, όπως και αν ορίζονται, είναι το συνολικό μήκος, και ο ρυθμός μεταβολής του μήκους του νήματος σε σχέση με τον χρόνο είναι μηδέν.