Κόλουρο δωδεκάεδρο

Στη Στερεομετρία, το κόλουρο δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 32 έδρες: 20 ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά δεκάγωνα. Έχει 60 κορυφές και 90 ακμές.

Κόλουρο δωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες	32 20 τρίγωνα 12 δεκάγωνα
Ακμές	90
Κορυφές	60
Διαμόρφωση κορυφής	(3.10.10)
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (Ih)
Δυϊκό	Τριάκις εικοσάεδρο
Ανάπτυγμα

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κόλουρου δωδεκαέδρου

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}\alpha \approx 2,969\alpha$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$\rho ={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)\alpha \approx 2,927\alpha$
Απόσταση τριγωνικών εδρών από το κέντρο	$r_{3}={\frac {1}{12}}{\sqrt {3}}\left(9+5{\sqrt {5}}\right)\alpha \approx 2,913\alpha$
Απόσταση δεκαγωνικών εδρών από το κέντρο	$r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \approx 2,49\alpha$
Συνολική επιφάνεια	$S=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\alpha ^{2}\approx 100,991\alpha ^{2}$
Όγκος	$V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)\alpha ^{3}\approx 85,04\alpha ^{3}$

Κατασκευαστικά, το κόλουρο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού δωδεκαέδρου να προκύψουν κανονικά δεκάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν τρίγωνα.

Δωδεκάεδρο

Κόλουρο δωδεκάεδρο

Εικοσιδωδεκάεδρο

Κόλουρο εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο

Πηγές - Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., Truncated Dodecahedron (Αγγλικά)