Κόλουρο εικοσάεδρο

Στη στερεομετρία, το κόλουρο εικοσάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 32 έδρες: 12 κανονικά πεντάγωνα και 20 κανονικά εξάγωνα. Έχει 60 κορυφές και 90 ακμές.

Κόλουρο εικοσάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες	32 12 πεντάγωνα 20 εξάγωνα
Ακμές	90
Κορυφές	60
Διαμόρφωση κορυφής	(5.6.6)
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (Ih)
Δυϊκό	Πεντάκις δωδεκάεδρο
Ανάπτυγμα

Το μοτίβο του κόλουρου εικοσαέδρου χρησιμοποιείται στην κατασκευή της συνηθισμένης μπάλας ποδοσφαίρου.

Το κόλουρο εικοσάεδρο σε σύγκριση με την μπάλα ποδοσφαίρου.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κόλουρου εικοσαέδρου

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {9\phi +10}}\alpha \approx 2,478\alpha$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$\rho ={\frac {3}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\alpha \approx 2,427\alpha$
Απόσταση πενταγωνικών εδρών από το κέντρο	$r_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(125+41{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \approx 2,327\alpha$
Απόσταση εξαγωνικών εδρών από το κέντρο	$r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)}}\alpha \approx 2,267\alpha$
Συνολική επιφάνεια	$S=3\left(10{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\alpha ^{2}\approx 72,607\alpha ^{2}$
Όγκος	$V={\frac {1}{4}}\left(125+43{\sqrt {5}}\right)\alpha ^{3}\approx 55,288\alpha ^{3}$

όπου $\phi \,\!$ ο χρυσός αριθμός.

Κατασκευαστικά, το κόλουρο εικοσάεδρο μπορεί να προέλθει από το εικοσάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του στο 1/3 της ακμής, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού εικοσαέδρου να προκύψουν κανονικά εξάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν πεντάγωνα.

Δωδεκάεδρο

Κόλουρο δωδεκάεδρο

Εικοσιδωδεκάεδρο

Κόλουρο εικοσάεδρο

Εικοσάεδρο

Πηγές - Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., Truncated Icosahedron (Αγγλικά)