Πεντάκις δωδεκάεδρο

Στη Στερεομετρία, το πεντάκις δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο, που ανήκει στα καταλανικά στερεά, τα οποία είναι δυϊκά των αρχιμήδειων στερεών. Συγκεκριμένα, το πεντάκις δωδεκάεδρο είναι το δυϊκό του κόλουρου εικοσάεδρου. Διαθέτει 60 έδρες σχήματος ισοσκελούς τριγώνου.

Πεντάκις δωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Καταλανικό στερεό
Έδρες	60 ισοσκελή τρίγωνα
Ακμές	90
Κορυφές	32
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (Ih)
Δυϊκό	Κόλουρο εικοσάεδρο
Ανάπτυγμα

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά

Δεδομένου ότι οι έδρες του στερεού είναι ισοσκελή τρίγωνα, αυτό σημαίνει ότι οι ακμές του είναι δύο ειδών. Αν λάβουμε το μήκος της ακμής του δυϊκού κόλουρου εικοσάεδρου ίσο με τη μονάδα, τότε το μήκος της μικρής ακμής του πεντάκις δωδεκάεδρου είναι s₁ $=$ 1/19(18√5 $-$ 9) και το μήκος της μεγάλης ακμής του είναι s₂ $=$ 3/2(√5 $-$ 1).

Τώρα, αν θεωρήσουμε το μήκος της μικρής ακμής (s₁) του στερεού ίσο με τη μονάδα, τότε ισχύουν τα εξής:

Συνολική επιφάνεια	$S={\frac {5}{3}}{\sqrt {\frac {421+63{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 27,935$
Όγκος	$V={\frac {5}{36}}(41+25{\sqrt {5}})\approx 13,459$

Το στερεό μπορεί να κατασκευαστεί από ένα κανονικό δωδεκάεδρο στις έδρες του οποίου έχουν προστεθεί πενταγωνικές πυραμίδες. Αν το μήκος της ακμής του δωδεκάεδρου ισούται με τη μονάδα, τότε το ύψος των πρόσθετων πυραμίδων είναι ίσο με

${\frac {1}{19}}{\sqrt {\frac {65+22{\sqrt {5}}}{5}}}$

Πηγές

• (Αγγλικά) Weisstein, Eric W., Pentakis Dodecahedron στο MathWorld