Καταλανικό στερεό
Στη γεωμετρία, Καταλανικό στερεό ονομάζεται το δυϊκό πολύεδρο ενός στερεού του Αρχιμήδη, έτσι είναι γνωστό και ως Αρχιμήδειο δυϊκό. Τα Καταλανικά στερεά πήραν το όνομά τους από τον Βέλγο μαθηματικό Ευγένιο Καταλάν, που τα περιέγραψε πρώτος το 1865.
Περιγραφή
ΕπεξεργασίαΤα καταλανικά στερεά είναι όλα κυρτά και έχουν μεταβατικότητα εδρών και όχι κορυφών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα δυϊκά τους, τα στερεά του Αρχιμήδη, έχουν μεταβατικότητα κορυφών και όχι εδρών. Σε αντίθεση με τα Πλατωνικά στερεά και τα στερεά του Αρχιμήδη, οι έδρες των Καταλανικών στερεών είναι μη κανονικά πολύγωνα. Ωστόσο, το σχήμα κορυφής των Καταλανικών στερεών είναι κανονικό και έχουν σταθερές δίεδρες γωνίες. Λόγω της μεταβατικότητας των εδρών τους, τα Καταλανικά στερεά είναι ισόεδρα.
Επιπλέον, δύο από τα Καταλανικά στερεά έχουν μεταβατικότητα ακμών, το ρομβικό δωδεκάεδρο και το ρομβικό τριακοντάεδρο. Αυτά είναι τα δυϊκά των δύο ψευδοκανονικών στερεών του Αρχιμήδη (κυβοκτάεδρο και εικοσιδωδεκάεδρο αντίστοιχα).
Ακριβώς όπως τα πρίσματα και τα αντιπρίσματα που δεν θεωρούνται γενικά στερεά του Αρχιμήδη, έτσι και οι διπυραμίδες και τα τραπεζόεδρα δεν θεωρούνται γενικά Καταλανικά στερεά, παρά το γεγονός ότι έχουν μεταβατικότητα εδρών.[1]
Δύο από τα Καταλανικά στερεά είναι χειρικά, το πενταγωνικό εικοσιτετράεδρο και το πενταγωνικό εξηκοντάεδρο, που είναι τα αντίστοιχα δυϊκά του χειρικού πεπλατυσμένου κύβου και του πεπλατυσμένου δωδεκαέδρου. Το καθένα από αυτά εμφανίζεται με δύο εναντιόμορφα. Επειδή δεν καταμετρώνται ξεχωριστά τα εναντιόμορφα τραπεζόεδρα και διπυραμίδες, έτσι υπάρχουν συνολικά 13 Καταλανικά στερεά.
Συμμετρία
ΕπεξεργασίαΤα καταλανικά στερεά, μαζί με τα δυϊκά τους Αρχιμήδεια στερεά, μπορούν να ομαδοποιηθούν ως προς τη συμμετρία τους (τετραεδρική, οκταεδρική και εικοσαεδρική). Υπάρχουν έξι μορφές ανά συμμετρία, ενώ η αυτοσυμμετρική τετραεδρική ομάδα έχει μόνο τρεις μοναδιαίες μορφές και δύο από αυτά αναπαράγονται με οκταεδρική συμμετρία.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Αρχιμήδεια | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
| |||||
| Καταλανικά | ||||||||||
|
|
|
|
|
| |||||
Κατάλογος
Επεξεργασία
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Pugh (1976), Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms.
Πηγές
Επεξεργασία- Catalan, Eugène (1865). Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. 41. Paris: J. l'École Polytechnique. σελίδες 1–71.
- Holden, Alan (1991). Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover Publications Inc.
- Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.
- Wenninger, Magnus (1983), Dual Models (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
. Dover Publications Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Επεξεργασία- Weisstein, Eric W., "Catalan Solids" από το MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Isohedron" από το MathWorld.