Ρομβικό τριακοντάεδρο

Στη γεωμετρία, το ρομβικό τριακοντάεδρο, το οποίο μερικές φορές αναφέρεται απλά ως τριακοντάεδρο ως το πιο κοινό του είδους, είναι ένα κυρτό πολύεδρο που έχει 30 έδρες ρόμβους, 60 ακμές και 32 κορυφές δύο τύπων. Είναι ζωνόεδρο και ένα από τα Καταλανικά στερεά, το οποίο είναι το δυϊκό του εικοσιδωδεκαέδρου.

Ρομβικό τριακοντάεδρο
Τύπος	Καταλανικό στερεό
Έδρες	30 ρόμβοι (V3.5.3.5)
Ακμές	60
Κορυφές	32 ( 20{3} και 12{5} )
Διάγραμμα Κόξετερ
Σημειογραφία Κόνγουεϊ	jD
Ομάδα συμμετρίας	Ih, H3, [5,3], (*532)
Ομάδα περιστροφής	I, [5,3]+, (532)
Δίεδρη γωνία	144°
Δυϊκό	Εικοσιδωδεκάεδρο
Ιδιότητες	κυρτό, ισοεδρικό, ισοτοξικό, ζωνόεδρο
Ανάπτυγμα

Περιγραφή

Τα μήκη των διαγωνίων των εδρών του ρομβικού τριακονταέδρου έχουν αναλογίες χρυσής τομής.

Ο λόγος της μεγάλης διαγωνίου προς τη μικρή διαγώνιο της κάθε έδρας του είναι ακριβώς ίσος με τη χρυσή τομή, φ, έτσι ώστε οι οξείες γωνίες της κάθε έδρας να είναι 2 εφ⁻¹(1/φ) = εφ⁻¹(2), ή περίπου 63,43°. Ένας τέτοιος ρόμβος ονομάζεται χρυσός ρόμβος.

Όντας το δυϊκό ενός από τα στερεά του Αρχιμήδη, το ρομβικό τριακοντάεδρο έχει μεταβατικές έδρες, που σημαίνει ότι η ομάδα συμμετρίας του στερεού δρα μεταβατικά στο σύνολο των εδρών του. Έτσι, για κάθε δύο έδρες, Α και Β, υπάρχει κάποια περιστροφή ή κατοπτρισμός του στερεού που του επιτρέπει να καταλαμβάνει τον ίδιο χώρο, ενώ μεταβαίνει η έδρα Α στην έδρα Β.

Το ρομβικό τριακοντάεδρο ανήκει στην ειδική κατηγορία των εννέα κυρτών πολυέδρων με μεταβατικές ακμές. Τα άλλα είναι τα πέντε Πλατωνικά στερεά, το κυβοκτάεδρο, το εικοσιδωδεκάεδρο και το ρομβικό δωδεκάεδρο.

Είναι επίσης ενδιαφέρον το γεγονός ότι οι κορυφές του ρομβικού τριακονταέδρου περιλαμβάνουν τη διάταξη των τεσσάρων πλατωνικών στερεών. Περιέχει δέκα τετράεδρα, πέντε κύβους, ένα εικοσάεδρο και ένα δωδεκάεδρο. Τα κέντρα των εδρών περιέχουν πέντε οκτάεδρα.

Διαστάσεις

Εάν το μήκος της ακμής ενός ρομβικού τριακονταέδρου είναι α, τότε μπορούν να υπολογιστούν:

Το εμβαδόν επιφανείας:

$S=a^{2}\cdot 12{\sqrt {5}}\approx 26,8328\cdot a^{2}$

Ο όγκος:

$V=a^{3}\cdot 4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 12,3107\cdot a^{3}$

Η ακτίνα από μια εγγεγραμμένη σφαίρα, που είναι εφαπτόμενη σε κάθε μία από τις έδρες του ρομβικού τριακονταέδρου:

$r_{i}=a\cdot {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 1,37638\cdot a,$   όπου φ είναι η χρυσή τομή.

Η μεσοακτίνα, που αγγίζει το μέσον της κάθε ακμής:

$r_{m}=a\cdot \left(1+{\frac {1}{{\sqrt {5}}{}}}\right)\approx 1,44721\cdot a$

Το επίπεδο της κάθε έδρας είναι κάθετο προς το κέντρο του ρομβικού τριακονταέδρου και βρίσκεται στην ίδια απόσταση (οι μικρές διαγώνιοι ανήκουν μόνο στις ακμές του εγγεγραμμένου κανονικού δωδεκαέδρου, ενώ οι μεγάλες διαγώνιοι ανήκουν μόνο στις ακμές του εγγεγραμμένου εικοσαέδρου). Χρησιμοποιώντας ένα από τα τρία χρυσά ορθογώνια που διαγράφονται μέσα στο εγγεγραμμένο εικοσάεδρο μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε την απόσταση από το κέντρο του στερεού έως το κέντρο των ρομβικών εδρών του.

Ανατομία

Το ρομβικό τριακοντάεδρο μπορεί να χωρισθεί σε 20 χρυσά, 10 οξεία και 10 επίπεδα ρομβόεδρα.

Χρήση

Ο λαμπτήρας IQ-light.

Ο Δανός σχεδιαστής Holger Strøm χρησιμοποίησε το ρομβικό τριακοντάεδρο ως βάση για το σχεδιασμό του λαμπτήρα του, IQ-light (το IQ είναι τα αρχικά των Interlocking Quadrilaterals, διασυνδεδεμένα τετράπλευρα).

Η ξυλουργός Jane Kostick κατασκεύασε κουτιά σε σχήμα ρομβικού τριακονταέδρου. Αυτή η απλή κατασκευή βασίζεται στην όχι και τόσο εμφανή σχέση μεταξύ του ρομβικού τριακονταέδρου και του κύβου.

Η "μπάλα των παλαβών" (Ball of Whacks) του Roger von Oech διαθέτει σχήμα ρομβικού τριακονταέδρου.

Σε κάποια παιχνίδια ρόλων (για χρήση στο δημοτικό σχολείο), το ρομβικό τριακοντάεδρο χρησιμοποιείται ως τριαντάεδρο ζάρι (που συμβολίζεται d30).

Ορθές προβολές

Το ρομβικό τριακοντάεδρο έχει πάνω από 227 αστεροειδή, όπως για παράδειγμα το ρομβικό εξηκοντάεδρο.

Το ρομβικό τριακοντάεδρο έχει τρεις θέσεις συμμετρίας, δύο με επίκεντρο τις κορυφές και μία στη μέση ακμή.

Ορθές προβολές

Συμμετρία προβολής	[2]	[6]	[10]
Προβολή
Προβολή δυϊκού

Σχετικά πολύεδρα

Το σφαιρικό ρομβικό τριακοντάεδρο.

Ένα ρομβικό τριακοντάεδρο με ένα εγγεγραμένο τετράεδρο (κόκκινο) και έναν κύβο (κίτρινο). (Περιστρεφόμενο μοντέλο)

Ένα ρομβικό τριακοντάεδρο με ένα εγγεγραμένο δωδεκάεδρο (μπλε) και ένα εικοσάεδρο (μωβ). (Περιστρεφόμενο μοντέλο)

Το ρομβικό τριακοντάεδρο αποτελεί το κυρτό κύτος μιας προβολής του 6-κύβου στις τρεις διαστάσεις.

Τα διανύσματα [u,v,w] της 3D βάσης είναι: u = (1, φ, 0, -1, φ, 0) v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1) w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)	Όπως εμφανίζεται με κρυφές τις εσωτερικές ακμές.
Υπάρχουν 64 κορυφές και 192 μοναδιαίου μήκους ακμές που σχηματίζουν πενταγωνική συμμετρία κατά μήκος ενός συγκεκριμένου άξονα, καθώς και εξαγωνική συμμετρία στους άλλους άξονες.

Πηγές

• Conway, John H.· Burgiel, Heidi· Goodman-Strass, Chaim (2008). The Symmetries of Things: Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings (Ch. 21) – Rhombic triacontahedron. akpeters.com. σελ. 285. ISBN 978-1-56881-220-5. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Σεπτεμβρίου 2010. Ανακτήθηκε στις 19 Μαΐου 2016. 
• Messer, P. W. (1995). «Stellations of the Rhombic Triacontahedron and Beyond». Structural Topology 21. 
• Pawley, G. S. (1975). «The 227 triacontahedra». Geometriae Dedicata (Kluwer Academic Publishers) 4 (2-4). doi:10.1007/BF00148756. ISSN 1572-9168. 
• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models: The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5 
• Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications Inc. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)