Παράγωγος φράκταλ

Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος φράκταλ ή παράγωγος Χάουσντορφ είναι μια μη-Νευτώνεια γενίκευση της παραγώγου που αφορά το μέτρο των φράκταλ, η οποία ορίζεται στη μορφοκλασματική γεωμετρία. Οι φράκταλ παράγωγοι δημιουργήθηκαν για τη μελέτη της ανώμαλης διάχυσης, όπου οι παραδοσιακές προσεγγίσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τη μορφοκλασματική φύση του μέσου. Ένα μέτρο φράκταλ t κλιμακώνεται ως συνάρτηση του t^α. Μια τέτοια παράγωγος είναι τοπική, σε αντίθεση με την ομοίως εφαρμοζόμενη μορφοκλασματική παράγωγο. Ο μορφοκλασματικός λογισμός διατυπώνεται ως γενίκευση του καθιερωμένου λογισμού .

Φυσικό πλαίσιο

Τα πορώδη μέσα, οι υδροφόροι ορίζοντες, οι αναταράξεις και άλλα πεδία παρουσιάζουν συνήθως μορφοκλασματικές ιδιότητες. Οι κλασικοί νόμοι διάχυσης ή διασποράς που βασίζονται σε τυχαίους περιπάτους στον ελεύθερο χώρο (στην ουσία το ίδιο αποτέλεσμα γνωστό ως νόμοι διάχυσης του Φικ, ο νόμος του Ντάρσι και ο νόμος του Φουριέ) δεν είναι εφαρμόσιμοι στα μορφοκλασματικά μέσα. Για να ξεπεραστεί αυτό, έννοιες όπως η απόσταση και η ταχύτητα πρέπει να επαναπροσδιοριστούν για τα μορφοκλασματικά μέσα- ειδικότερα, οι κλίμακες χώρου και χρόνου πρέπει να μετασχηματιστούν ως συναρτήσεις του (x^β, t^α). Οι στοιχειώδεις φυσικές έννοιες όπως η ταχύτητα επαναπροσδιορίζονται ως εξής για τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο (x^β, t^α):

$v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0$,

όπου το S^α,β αντιπροσωπεύει τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο με δείκτες κλιμάκωσης α και β. Ο παραδοσιακός ορισμός της ταχύτητας δεν έχει νόημα στον μη διαφοροποιήσιμο φράκταλ χωροχρόνο.

Ορισμός

Με βάση τον παραπάνω προβληματισμό, η έννοια της φράκταλ παραγώγου μιας συνάρτησης u(t) ως προς ένα φράκταλ μέτρο t εισάγεται ως εξής:

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0$,

Ένας πιο γενικός ορισμός δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό

${\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0$.

Για μια συνάρτηση y(t) στο $F^{\alpha }$-τέλειο μορφοκλασματικό σύνολο F η φράκταλ παράγωγος ή $F^{\alpha }$-παράγωγος της στο t, ορίζεται ως εξής

$D_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F_{-}lim}}~{\frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t)}},&if~t\in F;\\0,&otherwise.\end{array}}\right.$.

Κίνητρο

Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f μπορούν να οριστούν ως προς τους συντελεστές a_k στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})$

Από αυτή την προσέγγιση μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

$f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}$

Αυτό μπορεί να γενικευτεί προσεγγίζοντας την f με συναρτήσεις (x^α-(x₀)^α)^k:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })$

Σημείωση: ο συντελεστής χαμηλότερης τάξης πρέπει να εξακολουθεί να είναι b₀=f(x₀) αφού εξακολουθεί να είναι η σταθερή προσέγγιση της συνάρτησης f στο x₀.

Και πάλι μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

$b_{1}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})$

• Το φράκταλ της σειράς Μακλάουριν της f(t) με φράκταλ υποστήριξη F έχει ως εξής:

$f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(D_{F}^{\alpha })^{m}f(t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alpha }(t))^{m}$

Ιδιότητες

Συντελεστές διαστολής

Όπως συμβαίνει και στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ, οι συντελεστές b_k μπορούν να εκφραστούν ως προς τις κλασματικές παραγώγους τάξης k της f:

$b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x_{0})$

Ιδέα απόδειξης: υποθέτοντας ότι ${\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$ υπάρχει, b_k μπορεί να γραφτεί ως εξής ${\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}$

μπορεί κανείς πλέον να χρησιμοποιήσει ${\textstyle f(x)=(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{n}\Rightarrow ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}$ και αφού ${\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}$

Σύνδεση με παράγωγο

Αν για μια δεδομένη συνάρτηση f υπάρχουν τόσο η παράγωγος Df όσο και η φράκταλ παράγωγος D_αf, μπορεί κανείς να βρει ένα ανάλογο του κανόνα της αλυσίδας:

${df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}$

Το τελευταίο βήμα αιτιολογείται από το θεώρημα της εμπρόθετης συνάρτησης το οποίο, υπό κατάλληλες συνθήκες, μας δίνει dx/dx^α = (dx^α/dx)⁻¹

Ομοίως για τον γενικότερο ορισμό:

${d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)$

Μορφοκλασματική παράγωγος για τη συνάρτηση f(t) = t, με τάξη παραγώγου είναι α ∈ (0,1]

Εφαρμογή σε ανώμαλη διάχυση

Ως εναλλακτική προσέγγιση μοντελοποίησης του κλασικού δεύτερου νόμου του Φικ, η φράκταλ παράγωγος χρησιμοποιείται για την εξαγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης ανώμαλης μεταφοράς-διάχυσης που διέπει τη διαδικασία ανώμαλης διάχυσης,

${\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)$

$u(x,0)=\delta (x).$

όπου 0 < α < 2, 0 < β < 1, και δ'(x) είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ.

Για να προκύψει η θεμελιώδης λύση, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό των μεταβλητών

$t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.$

τότε η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση κανονικής μορφής διάχυσης, η λύση της (1) έχει την τεντωμένη Γκαουσιανή μορφή:

$u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}$

Η μέση τετραγωνική μετατόπιση της παραπάνω εξίσωσης διάχυσης με παράγωγο φράκταλ έχει την ασύμπτωτη:

$\left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.$

Φράκταλ-κλασματικός λογισμός

Η φράκταλ παράγωγος συνδέεται με την κλασική παράγωγο αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος της υπό εξέταση συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή,

${\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0$.

Ωστόσο, λόγω της ιδιότητας διαφοροποιησιμότητας ενός ολοκληρώματος, οι κλασματικές παράγωγοι είναι διαφοροποιήσιμες. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη νέα έννοια εισήχθη από τον καθηγητή Αμπντον Ατανγκάνα από τη Νότια Αφρική.

Οι ακόλουθοι διαφορικοί τελεστές εισήχθησαν και εφαρμόστηκαν πολύ πρόσφατα. Υποθέτοντας ότι η y(t) είναι συνεχής και κλασματική διαφορίσιμη στο (α, β) με τάξη β, ισχύουν διάφοροι ορισμοί μιας κλασματικής-κλασματικής παραγώγου της y(t) με τάξη α κατά Ρίμαν-Λιουβίλ:

• Να διαθέτουν πυρήνα τύπου νόμου ισχύος:

$^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds$

• Να διαθέτουν πυρήνα εκθετικά φθίνοντος τύπου:

$^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds$,

• Να διαθέτουν γενικευμένο πυρήνα τύπου Mittag-Λέφλερ:

${}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.$

Οι παραπάνω διαφορικοί τελεστές έχουν ο καθένας από έναν σχετικό τελεστή φράκταλ-κλασματικού ολοκληρώματος, ως εξής:

• Πυρήνας τύπου δυναμικού νόμου:

$^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds$

• Τύπος πυρήνα εκθετικά φθίνοντος :

$^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}$.

• Γενικός πυρήνας Μιταγκ-Λεφλέρ:

$^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}$. Το FFM αναφέρεται ως φράκταλ-κλασματικό με τον γενικευμένο πυρήνα Μιταγκ-Λεφλέρ.

Μορφολασματικός μη-τοπικός λογισμός

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο του δεξιόστροφου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${x}{\mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t$.

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο του αριστερόπλευρου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t.$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}(-D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης $\beta \in \mathbb {R}$ της f ορίζεται από:

${a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{n-\beta -1}(D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• «FracLac User's Guide».  An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

Βιβλιογραφία

• Chen, W. (2006). «Time–space fabric underlying anomalous diffusion». Chaos, Solitons and Fractals 28 (4): 923–929. doi:10.1016/j.chaos.2005.08.199. Bibcode: 2006CSF....28..923C. 
• Kanno, R. (1998). «Representation of random walk in fractal space-time». Physica A 248 (1–2): 165–175. doi:10.1016/S0378-4371(97)00422-6. Bibcode: 1998PhyA..248..165K. 
• Chen, W.; Sun, H.G.; Zhang, X.; Korosak, D. (2010). «Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives». Computers and Mathematics with Applications 59 (5): 1754–8. doi:10.1016/j.camwa.2009.08.020. 
• Sun, H.G.; Meerschaert, M.M.; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. (2013). «A fractal Richards' equation to capture the non-Boltzmann scaling of water transport in unsaturated media». Advances in Water Resources 52 (52): 292–5. doi:10.1016/j.advwatres.2012.11.005. PMID 23794783. Bibcode: 2013AdWR...52..292S. 
• Cushman, J.H.; O'Malley, D.; Park, M. (2009). «Anomalous diffusion as modeled by a nonstationary extension of Brownian motion». Phys. Rev. E 79 (3): 032101. doi:10.1103/PhysRevE.79.032101. PMID 19391995. Bibcode: 2009PhRvE..79c2101C. 
• Mainardi, F.; Mura, A.; Pagnini, G. (2010). «The M-Wright Function in Time-Fractional Diffusion Processes: A Tutorial Survey». International Journal of Differential Equations 2010: 104505. doi:10.1155/2010/104505. Bibcode: 2010arXiv1004.2950M. 

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν