Συζυγής πίνακας
Στην γραμμική άλγεβρα, ο συζυγής πίνακας ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συζυγείς μιγαδικούς των στοιχείων του. Πιο συγκεκριμένα, για έναν μιγαδικό πίνακα διαστάσεων , ο συζυγής του είναι ο πίνακας διαστάσεων με για κάθε και .[1]:35[2]:191[3]:5[4]:8 Δηλαδή,
Για παράδειγμα, ο συζυγής του είναι ο .
Παραδείγματα
Επεξεργασία- Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής τους:
- Ο συζυγής πίνακας ενός πραγματικού πίνακα είναι ο ίδιος ο πίνακας , δηλαδή .[2]: 191 Για παράδειγμα, για τον μηδενικό πίνακα και τον ταυτοτικό πίνακα , ισχύει και .
- Ο συζυγής πίνακας ενός φανταστικού πίνακα είναι ο αντίθετός του , δηλαδή .[2]: 191 Για παράδειγμα,
Ιδιότητες
Επεξεργασία- Ο συζυγής πίνακας του αθροίσματος δύο πινάκων και είναι το άθροισμα των συζυγών, .
Απόδειξη |
Έστω δύο μιγαδικοί πίνακες και διαστάσεων . Τότε για κάθε και , ισχύει ότι
|
- Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα με έναν μιγαδικό αριθμό , .
Απόδειξη |
Έστω ένας μιγαδικός πίνακας διαστάσεων . Τότε για κάθε και , ισχύει ότι
Επομένως, . |
- Ο συζυγής πίνακας του γινομένου δύο πινάκων και είναι το γινόμενο των συζυγών, .
Απόδειξη |
Έστω ένας μιγαδικός πίνακας διαστάσεων και διαστάσεων . Τότε για κάθε και , ισχύει ότι
|
- Ο συζυγής πίνακας του συζυγούς πίνακα είναι ο αρχικός πίνακας, .
Απόδειξη |
Έστω ένας μιγαδικός πίνακας διαστάσεων . Τότε για κάθε και , ισχύει ότι |
- Ο συζυγής πίνακας του αναστρόφου είναι ο ανάστροφος του συζυγή, .
Απόδειξη |
Έστω ένας μιγαδικός πίνακας διαστάσεων . Τότε για κάθε και , ισχύει ότι
Επομένως, . |
Απόδειξη |
Έστω ένας μιγαδικός τετραγωνικός πίνακας . Τότε, από την ιδιότητα των συζυγών μιγαδικών αριθμών , έχουμε ότι
|
- Ο συζυγής του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγή, .
Απόδειξη |
Έστω ένας αντιστρέψιμος μιγαδικός πίνακας και ο αντίστροφός του , δηλαδή για τον ταυτοτικό πίνακα . Παίρνοντας τον συζυγή και στα δύο μέλη και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του γινομένου και ότι , έχουμε ότι Επομένως, εξ'ορισμού ο είναι ο αντίστροφος του , δηλαδή . |
Απόδειξη |
Από τον τύπο του Leibniz,
χρησιμοποιώντας ότι ο συζυγής του γινομένου (αθροίσματος) μιγαδικών αριθμών είναι το γινόμενο (άθροισμα) των συζυγών μιγαδικών αριθμών. |
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ 1,0 1,1 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.
- ↑ Μπούταλης, Ι. «Στοιχεία από την Θεωρία Πινάκων» (PDF). Δημοκριτειο Πανεπιστήμειο Θράκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022.
- ↑ Πολύζος, Σ.· Τσιώτας, Δ. «Σημειώσεις μαθηματικών» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περ. Ανάπτυξης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022.
- ↑ Χαραλάμπους, Χαρά. «Σημειώσεις γραμμικής άλγεβρας εβδομάδα Τρίτη 19 Οκτωβρίου 2010» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2022.