Συμμετρική διαφορά

Στην θεωρία συνόλων, η συμμετρική διαφορά (ή διαζευτικό άθροισμα ή συμμετροδιαφορά) δύο συνόλων $A$ και $B$ είναι το σύνολο των στοιχείων τους που δεν περιέχονται στην τομή τους, ισοδύναμα τα στοιχεία που περιέχονται ακριβώς σε ένα από τα δύο σύνολα. Συμβολίζεται ως $A\vartriangle B$ (ή $A\ominus B$) και ορίζεται ως

Το διάγραμμα Βενν για τη συμμετρική διαφορά δύο συνόλων $X$ και $Y$.

$A\vartriangle B=\left\{x\in A\cup B:x\notin A\cap B\right\},$

όπου $A\cup B$ είναι η ένωση των δύο συνόλων και $A\cap B$ είναι η τομή τους, ή ισοδύναμα ως

$A\vartriangle B=\left\{x\in A\cup B:x\in A\oplus x\in B\right\},$

όπου $\oplus$ η λογική αποκλειστική διάζευξη

Για παράδειγμα, η συμμετρική διαφορά των συνόλων $A=\{1,2,5,7,9\}$ και $B=\{2,3,4,5,8,9,11\}$ είναι το σύνολο

$A\vartriangle B=\{1,3,4,7,8,11\}$.

Ιδιότητες

Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• $A\vartriangle B=B\vartriangle A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
• $A\vartriangle (B\vartriangle C)=(A\vartriangle B)\vartriangle C$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
• $A\vartriangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.
• $A\cap (B\vartriangle C)=(A\cap B)\vartriangle (A\cap C)$ (επιμεριστική ιδιότητα ως προς την τομή).
• $A\vartriangle B=A\cup B$ ανν τα δύο σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους.
• $A\vartriangle B=\emptyset$ ανν $A=B$.

Γενικεύσεις

Το διάγραμμα Βενν για τη συμμετρική διαφορά δύο συνόλων $X$ και $Y$.

Η συμμετρική διαφορά $n$ συνόλων $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ ορίζεται ως

$\vartriangle (A_{1},\ldots ,A_{n})=\{x\in A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}:(x\in A_{1})\oplus \ldots \oplus (x\in A_{n})\}$,

δηλαδή το σύνολο των στοιχείων που εμφανίζονται σε μονό αριθμό συνόλων.

Δείτε επίσης

• Ένωση συνόλων
• Τομή συνόλων
• Αποκλειστική διάζευξη