Συνάρτηση βήτα

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση βήτα, που ονομάζεται επίσης ολοκλήρωμα Όιλερ του πρώτου είδους, είναι μια ειδική συνάρτηση στενά συνδεδεμένη με τη συνάρτηση γάμμα και τους διωνυμικούς συντελεστές. Ορίζεται από το ολοκλήρωμα

Διάγραμμα ισοϋψών καμπυλών της συνάρτησης βήτα

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt$

για τους μιγαδικούς αριθμούς $z_{1},z_{2}$ τέτοιους ώστε $\Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0$.

Η συνάρτηση βήτα μελετήθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ και Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ και έλαβε το όνομά της από τον Jacques Binet. Το σύμβολό του Β είναι ελληνικό βήτα κεφαλαίο.

Ιδιότητες

Η συνάρτηση βήτα είναι συμμετρική, που σημαίνει ότι $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})$ για όλα τα $z_{1}$ και $z_{2}$.

Μια βασική ιδιότητα της συνάρτησης βήτα είναι η στενή της σχέση με τη συνάρτηση γάμμα:

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$.

Για περισσότερες λεπτομέρεις δείτε την παρακάτω ενότητα §Σχέση με τη συνάρτηση γάμμα .

Η συνάρτηση βήτα σχετίζεται επίσης στενά με τους διωνυμικούς συντελεστές. Όταν το m (ή κατά συμμετρία το n) είναι θετικός ακέραιος, από τον ορισμό της συνάρτησης γάμμα Γ προκύπτει ότι

$\mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}$.

Σχέση με τη συνάρτηση γάμμα

Μια απλή απόδειξη της σχέσης $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$ μπορεί να βρεθεί στο βιβλίο του Emil Artin The Gamma Function, σελίδα 18–19. Ξεκινάει γράφοντας το γινόμενο δύο παραγοντικών ως

${\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}$

Αντικαθιστώντας τις μεταβλητές κατά u = st και v = s(1 − t), επειδή u + v = s και u / (u+v) = t, έχουμε ότι τα όρια των ολοκληρώσεων για s είναι 0 έως ∞ και τα όρια του ολοκλήρωση για t είναι 0 προς 1. Έτσι λαμβάνουμε ότι

${\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}$

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με $\Gamma (z_{1}+z_{2})$ έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Αυτή η ταυτότητα μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση της ταυτότητας για το ολοκλήρωμα μιας συνέλιξης. Θεωρώντας τις συναρτήσεις

${\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}$

έχουμε ότι:

$\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).$

Διαφοροποίηση της συνάρτησης βήτα

Έχουμε ότι

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},$

${\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,$

όπου η $\psi (z)$ είναι η συνάρτηση δίγαμμα .

Προσέγγιση

Η προσέγγιση του Stirling δίνει τον εξής ασυμπτωτικό τύπο

$\mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}$

για μεγάλο x και μεγάλο y .

Αν από την άλλη το x είναι μεγάλο και το y σταθερό, τότε

$\mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.$

Άλλες ταυτότητες και τύποι

Το ολοκλήρωμα που ορίζει τη συνάρτηση beta μπορεί να ξαναγραφτεί με διάφορους τρόπους, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

${\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}$

όπου η προτελευταία ισότητα ισχύει για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό n. Η πρώτη ισότητα λαμβάνεται με την αντικατάσταση $t=\tan ^{2}(\theta )$ .

Η συνάρτηση βήτα μπορεί να γραφτεί ως άπειρο άθροισμα ως εξής

$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}$

(όπου $(x)_{n}$ είναι το αυξανόμενο παραγοντικό )

και ως άπειρο γινόμενο

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.$

Η συνάρτηση βήτα ικανοποιεί πολλές ταυτότητες ανάλογες με τις αντίστοιχες ταυτότητες για τους διωνυμικούς συντελεστές, συμπεριλαμβανομένης μιας εκδοχής της ταυτότητας του Πασκάλ

$\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)$

και μια απλής αναδρομικής σχέσης σε μία συντεταγμένη:

$\mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.$

Οι θετικές ακέραιες τιμές της συνάρτησης βήτα είναι επίσης οι μερικές παράγωγοι μιας δισδιάστατης συνάρτησης: για όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς $m$ και $n$ ,

$\mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),$

όπου

$h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.$

Η ταυτότητα τύπου Pascal παραπάνω υποδηλώνει ότι αυτή η συνάρτηση είναι μια λύση στη μερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης

$h=h_{a}+h_{b}.$

Για $x,y\geq 1$, η συνάρτηση βήτα μπορεί να γραφτεί με όρους συνέλιξης που περιλαμβάνει την συνάρτηση αποκομμένης δύναμης $t\mapsto t_{+}^{x}$ :

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}$.

Για ορισμένες τιμές του x και του y, οι τιμές μπορεί να απλοποιηθούν αρκετά. Για παράδειγμα,

$\mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}$

και

$\mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z}$

Θέτοντας $x={\frac {1}{2}}$ σε αυτόν τον τελευταίο τύπο, προκύπτει ότι $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ . Η γενίκευση αυτού σε μια ταυτότητα με δύο μεταβλητές για ένα γινόμενο συναρτήσεων βήτα οδηγεί σε:

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.$

Το ολοκλήρωμα του Όιλερ για τη συνάρτηση βήτα μπορεί να μετατραπεί σε ολοκλήρωμα της καμπύλης Pochhammer C ως

$\left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.$

Αυτό το επικαμπύλιο ολοκλήρο Pochhammer συγκλίνει για όλες τις τιμές των α και β και έτσι δίνει την αναλυτική συνέχεια της συνάρτησης βήτα.

Ακριβώς όπως η συνάρτηση γάμμα για ακέραιους αριθμούς δίνει τις τιμές του παραγοντικού, η συνάρτηση βήτα μπορεί να ορίσει έναν διωνυμικό συντελεστή μετά την προσαρμογή των δεικτών:

${\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$

Επιπλέον, για ακέραιο n, η Β μπορεί να παραγοντοποιηθεί για να δώσει μια συνάρτηση παρεμβολής κλειστής μορφής για συνεχείς τιμές του k :

${\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.$

Αντίστροφη συνάρτησης βήτα

Η αντίστροφη συνάρτηση βήτα είναι η συνάρτηση σχετικά με τη φόρμα

$f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}$.

Είναι ενδιαφέρον ότι οι ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις τους σχετίζονται στενά ως το καθορισμένο ολοκλήρωμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με το γινόμενο της ισχύος και της πολλαπλής γωνίας του:

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}$

Ατελής συνάρτηση βήτα

Η ατελής συνάρτηση βήτα είναι μια γενίκευση της συνάρτησης βήτα που ορίζεται ως

$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.$

Για x = 1, η ατελής συνάρτηση βήτα συμπίπτει με την πλήρη συνάρτηση βήτα. Η σχέση μεταξύ των δύο συναρτήσεων είναι όπως αυτή μεταξύ της συνάρτησης γάμμα και της γενίκευσής της, της ατελούς συνάρτησης γάμμα. Για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b, η ατελής συνάρτηση βήτα θα είναι ένα πολυώνυμο βαθμού α + σι - 1 με ρητούς συντελεστές.

Η κανονικοποιημένη ατελής συνάρτηση βήτα (ή κανονικοποιημένη συνάρτηση βήτα για συντομία) ορίζεται ως ο λόγος της ατελούς συνάρτησης βήτα προς την πλήρη συνάρτηση βήτα:

$I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.$

Η κανονικοποιημένη ατελής συνάρτηση βήτα είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της κατανομής βήτα και σχετίζεται με τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής $F(k;\,n,p)$ μιας τυχαίας μεταβλητής X που ακολουθεί μία διωνυμική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας p και αριθμό δοκιμών Μπερνούλι n:

$F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).$

Ιδιότητες

${\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\mathrm {d} x&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b)\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}$

Ως συνεχές κλάσμα

Η αναπαράσταση ως συνεχές κλάσμα

$\mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+}}{\frac {{d}_{2}}{1+}}{\frac {{d}_{3}}{1+}}{\frac {{d}_{4}}{1+}}\cdots \right)}}$

όπου οι μονοί και οι ζυγοί συντελεστές είναι οι εξής

${d}_{2m+1}=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}}$

${d}_{2m}={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}$

συγκλίνει γρήγορα όταν το $x$ δεν είναι κοντά στο 1. Το $4m$ και $4m+1$ είναι μικρότερά από το $\mathrm {B} (x;\,a,b)$, ενώ το $4m+2$ και $4m+3$ είναι μεγαλύτερα από το $\mathrm {B} (x;\,a,b)$ .

Για $x>{\frac {a+1}{a+b+2}}$, η συνάρτηση μπορεί να υπολογιστεί πιο αποτελεσματικά χρησιμοποιώντας την σχέση$\mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)$.

Συνάρτηση βήτα πολλών μεταβλητών

Η συνάρτηση βήτα μπορεί να επεκταθεί σε μια συνάρτηση με περισσότερα από δύο ορίσματα:

$\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.$

Αυτή η συνάρτηση βήτα πολλών μεταβλητών χρησιμοποιείται στον ορισμό της κατανομής Ντίριχλετ . Η σχέση του με τη συνάρτηση βήτα είναι αντίστοιχη με αυτή μεταξύ πολυωνυμικών συντελεστών και διωνυμικών συντελεστών. Για παράδειγμα, ικανοποιεί μια παρόμοια εκδοχή της ταυτότητας του Πασκάλ:

$\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).$

Εφαρμογές

Η συνάρτηση βήτα είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό και την αναπαράσταση του πλάτους σκέδασης για τις τροχιές Regge. Επιπλέον, ήταν το πρώτο γνωστό πλάτος σκέδασης στη θεωρία χορδών, που εικάστηκε για πρώτη φορά από τον Gabriele Veneziano. Εμφανίζεται επίσης στη θεωρία της διαδικασίας προνομιακής προσάρτησης, ενός τύπου στοχαστικής διαδικασίας καλπών. Η συνάρτηση βήτα είναι επίσης σημαντική στα στατιστικά στοιχεία, π.χ. για την κατανομή βήτα. Όπως αναφέρθηκε εν συντομία προηγουμένως, η συνάρτηση βήτα είναι στενά συνδεδεμένη με τη συνάρτηση γάμμα και παίζει σημαντικό ρόλο στον λογισμό .