Στα μαθηματικά , η συνάρτηση βήτα , που ονομάζεται επίσης ολοκλήρωμα Όιλερ του πρώτου είδους, είναι μια ειδική συνάρτηση στενά συνδεδεμένη με τη συνάρτηση γάμμα και τους διωνυμικούς συντελεστές . Ορίζεται από το ολοκλήρωμα
Διάγραμμα ισοϋψών καμπυλών της συνάρτησης βήτα
B
(
z
1
,
z
2
)
=
∫
0
1
t
z
1
−
1
(
1
−
t
)
z
2
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}
για τους μιγαδικούς αριθμούς
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
τέτοιους ώστε
ℜ
(
z
1
)
,
ℜ
(
z
2
)
>
0
{\displaystyle \Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0}
.
Η συνάρτηση βήτα μελετήθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ και Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ και έλαβε το όνομά της από τον Jacques Binet. Το σύμβολό του Β είναι ελληνικό βήτα κεφαλαίο.
Η συνάρτηση βήτα είναι συμμετρική , που σημαίνει ότι
B
(
z
1
,
z
2
)
=
B
(
z
2
,
z
1
)
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}
για όλα τα
z
1
{\displaystyle z_{1}}
και
z
2
{\displaystyle z_{2}}
. [ 1]
Μια βασική ιδιότητα της συνάρτησης βήτα είναι η στενή της σχέση με τη συνάρτηση γάμμα :[ 1]
B
(
z
1
,
z
2
)
=
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}
.
Για περισσότερες λεπτομέρεις δείτε την παρακάτω ενότητα §Σχέση με τη συνάρτηση γάμμα .
Η συνάρτηση βήτα σχετίζεται επίσης στενά με τους διωνυμικούς συντελεστές . Όταν το m (ή κατά συμμετρία το n ) είναι θετικός ακέραιος, από τον ορισμό της συνάρτησης γάμμα Γ προκύπτει ότι[ 1]
B
(
m
,
n
)
=
(
m
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
(
m
+
n
−
1
)
!
=
m
+
n
m
n
/
(
m
+
n
m
)
{\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}
.
Μια απλή απόδειξη της σχέσης
B
(
z
1
,
z
2
)
=
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}
μπορεί να βρεθεί στο βιβλίο του Emil Artin The Gamma Function , σελίδα 18–19.[ 2] Ξεκινάει γράφοντας το γινόμενο δύο παραγοντικών ως
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
=
∫
u
=
0
∞
e
−
u
u
z
1
−
1
d
u
⋅
∫
v
=
0
∞
e
−
v
v
z
2
−
1
d
v
=
∫
v
=
0
∞
∫
u
=
0
∞
e
−
u
−
v
u
z
1
−
1
v
z
2
−
1
d
u
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}
Αντικαθιστώντας τις μεταβλητές κατά u = st και v = s (1 − t ) , επειδή u + v = s και u / (u+v) = t , έχουμε ότι τα όρια των ολοκληρώσεων για s είναι 0 έως ∞ και τα όρια του ολοκλήρωση για t είναι 0 προς 1. Έτσι λαμβάνουμε ότι
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
=
∫
s
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
s
(
s
t
)
z
1
−
1
(
s
(
1
−
t
)
)
z
2
−
1
s
d
t
d
s
=
∫
s
=
0
∞
e
−
s
s
z
1
+
z
2
−
1
d
s
⋅
∫
t
=
0
1
t
z
1
−
1
(
1
−
t
)
z
2
−
1
d
t
=
Γ
(
z
1
+
z
2
)
⋅
B
(
z
1
,
z
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}
Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με
Γ
(
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}
έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.
Αυτή η ταυτότητα μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση της ταυτότητας για το ολοκλήρωμα μιας συνέλιξης . Θεωρώντας τις συναρτήσεις
f
(
u
)
:=
e
−
u
u
z
1
−
1
1
R
+
g
(
u
)
:=
e
−
u
u
z
2
−
1
1
R
+
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}
έχουμε ότι:
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
=
∫
R
f
(
u
)
d
u
⋅
∫
R
g
(
u
)
d
u
=
∫
R
(
f
∗
g
)
(
u
)
d
u
=
B
(
z
1
,
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
.
{\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}
Έχουμε ότι
∂
∂
z
1
B
(
z
1
,
z
2
)
=
B
(
z
1
,
z
2
)
(
Γ
′
(
z
1
)
Γ
(
z
1
)
−
Γ
′
(
z
1
+
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
)
=
B
(
z
1
,
z
2
)
(
ψ
(
z
1
)
−
ψ
(
z
1
+
z
2
)
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}
∂
∂
z
m
B
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
=
B
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
(
ψ
(
z
m
)
−
ψ
(
∑
k
=
1
n
z
k
)
)
,
1
≤
m
≤
n
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,}
όπου η
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
είναι η συνάρτηση δίγαμμα .
Η προσέγγιση του Stirling δίνει τον εξής ασυμπτωτικό τύπο
B
(
x
,
y
)
∼
2
π
x
x
−
1
/
2
y
y
−
1
/
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
/
2
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}
για μεγάλο x και μεγάλο y .
Αν από την άλλη το x είναι μεγάλο και το y σταθερό, τότε
B
(
x
,
y
)
∼
Γ
(
y
)
x
−
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
Το ολοκλήρωμα που ορίζει τη συνάρτηση beta μπορεί να ξαναγραφτεί με διάφορους τρόπους, συμπεριλαμβανομένων των εξής:
B
(
z
1
,
z
2
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
z
1
−
1
(
cos
θ
)
2
z
2
−
1
d
θ
,
=
∫
0
∞
t
z
1
−
1
(
1
+
t
)
z
1
+
z
2
d
t
,
=
n
∫
0
1
t
n
z
1
−
1
(
1
−
t
n
)
z
2
−
1
d
t
,
=
(
1
−
a
)
z
2
∫
0
1
(
1
−
t
)
z
1
−
1
t
z
2
−
1
(
1
−
a
t
)
z
1
+
z
2
d
t
for any
a
∈
R
≤
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}
όπου η προτελευταία ισότητα ισχύει για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό n . Η πρώτη ισότητα λαμβάνεται με την αντικατάσταση
t
=
tan
2
(
θ
)
{\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}
.
Η συνάρτηση βήτα μπορεί να γραφτεί ως άπειρο άθροισμα ως εξής[ 3]
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
1
−
x
)
n
(
y
+
n
)
n
!
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}}
(όπου
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n}}
είναι το αυξανόμενο παραγοντικό )
και ως άπειρο γινόμενο
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}
Η συνάρτηση βήτα ικανοποιεί πολλές ταυτότητες ανάλογες με τις αντίστοιχες ταυτότητες για τους διωνυμικούς συντελεστές, συμπεριλαμβανομένης μιας εκδοχής της ταυτότητας του Πασκάλ
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
+
1
)
+
B
(
x
+
1
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)}
και μια απλής αναδρομικής σχέσης σε μία συντεταγμένη:
B
(
x
+
1
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
x
x
+
y
,
B
(
x
,
y
+
1
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
y
x
+
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}
[ 4]
Οι θετικές ακέραιες τιμές της συνάρτησης βήτα είναι επίσης οι μερικές παράγωγοι μιας δισδιάστατης συνάρτησης: για όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς
m
{\displaystyle m}
και
n
{\displaystyle n}
,
B
(
m
+
1
,
n
+
1
)
=
∂
m
+
n
h
∂
a
m
∂
b
n
(
0
,
0
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),}
όπου
h
(
a
,
b
)
=
e
a
−
e
b
a
−
b
.
{\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.}
Η ταυτότητα τύπου Pascal παραπάνω υποδηλώνει ότι αυτή η συνάρτηση είναι μια λύση στη μερική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης
h
=
h
a
+
h
b
.
{\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}
Για
x
,
y
≥
1
{\displaystyle x,y\geq 1}
, η συνάρτηση βήτα μπορεί να γραφτεί με όρους συνέλιξης που περιλαμβάνει την συνάρτηση αποκομμένης δύναμης
t
↦
t
+
x
{\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}
:
B
(
x
,
y
)
⋅
(
t
↦
t
+
x
+
y
−
1
)
=
(
t
↦
t
+
x
−
1
)
∗
(
t
↦
t
+
y
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}
.
Για ορισμένες τιμές του x και του y, οι τιμές μπορεί να απλοποιηθούν αρκετά. Για παράδειγμα,
B
(
1
,
x
)
=
1
x
{\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}
και
B
(
x
,
1
−
x
)
=
π
sin
(
π
x
)
,
x
∉
Z
{\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }
[ 5]
Θέτοντας
x
=
1
2
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}
σε αυτόν τον τελευταίο τύπο, προκύπτει ότι
Γ
(
1
/
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}
. Η γενίκευση αυτού σε μια ταυτότητα με δύο μεταβλητές για ένα γινόμενο συναρτήσεων βήτα οδηγεί σε:
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}
Το ολοκλήρωμα του Όιλερ για τη συνάρτηση βήτα μπορεί να μετατραπεί σε ολοκλήρωμα της καμπύλης Pochhammer C ως
(
1
−
e
2
π
i
α
)
(
1
−
e
2
π
i
β
)
B
(
α
,
β
)
=
∫
C
t
α
−
1
(
1
−
t
)
β
−
1
d
t
.
{\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}
Αυτό το επικαμπύλιο ολοκλήρο Pochhammer συγκλίνει για όλες τις τιμές των α και β και έτσι δίνει την αναλυτική συνέχεια της συνάρτησης βήτα.
Ακριβώς όπως η συνάρτηση γάμμα για ακέραιους αριθμούς δίνει τις τιμές του παραγοντικού , η συνάρτηση βήτα μπορεί να ορίσει έναν διωνυμικό συντελεστή μετά την προσαρμογή των δεικτών:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Επιπλέον, για ακέραιο n , η Β μπορεί να παραγοντοποιηθεί για να δώσει μια συνάρτηση παρεμβολής κλειστής μορφής για συνεχείς τιμές του k :
(
n
k
)
=
(
−
1
)
n
n
!
⋅
sin
(
π
k
)
π
∏
i
=
0
n
(
k
−
i
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
Η αντίστροφη συνάρτηση βήτα είναι η συνάρτηση σχετικά με τη φόρμα
f
(
x
,
y
)
=
1
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}
.
Είναι ενδιαφέρον ότι οι ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις τους σχετίζονται στενά ως το καθορισμένο ολοκλήρωμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με το γινόμενο της ισχύος και της πολλαπλής γωνίας του:
∫
0
π
sin
x
−
1
θ
sin
y
θ
d
θ
=
π
sin
y
π
2
2
x
−
1
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
∫
0
π
sin
x
−
1
θ
cos
y
θ
d
θ
=
π
cos
y
π
2
2
x
−
1
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
∫
0
π
cos
x
−
1
θ
sin
y
θ
d
θ
=
π
cos
y
π
2
2
x
−
1
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
∫
0
π
2
cos
x
−
1
θ
cos
y
θ
d
θ
=
π
2
x
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
Η ατελής συνάρτηση βήτα είναι μια γενίκευση της συνάρτησης βήτα που ορίζεται ως[ 6]
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}
Για x = 1 , η ατελής συνάρτηση βήτα συμπίπτει με την πλήρη συνάρτηση βήτα. Η σχέση μεταξύ των δύο συναρτήσεων είναι όπως αυτή μεταξύ της συνάρτησης γάμμα και της γενίκευσής της, της ατελούς συνάρτησης γάμμα. Για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b , η ατελής συνάρτηση βήτα θα είναι ένα πολυώνυμο βαθμού α + σι - 1 με ρητούς συντελεστές.
Η κανονικοποιημένη ατελής συνάρτηση βήτα (ή κανονικοποιημένη συνάρτηση βήτα για συντομία) ορίζεται ως ο λόγος της ατελούς συνάρτησης βήτα προς την πλήρη συνάρτηση βήτα:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}
Η κανονικοποιημένη ατελής συνάρτηση βήτα είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της κατανομής βήτα και σχετίζεται με τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής
F
(
k
;
n
,
p
)
{\displaystyle F(k;\,n,p)}
μιας τυχαίας μεταβλητής X που ακολουθεί μία διωνυμική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας p και αριθμό δοκιμών Μπερνούλι n :
F
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
k
,
k
+
1
)
=
1
−
I
p
(
k
+
1
,
n
−
k
)
.
{\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}
I
0
(
a
,
b
)
=
0
I
1
(
a
,
b
)
=
1
I
x
(
a
,
1
)
=
x
a
I
x
(
1
,
b
)
=
1
−
(
1
−
x
)
b
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
I
x
(
a
+
1
,
b
)
=
I
x
(
a
,
b
)
−
x
a
(
1
−
x
)
b
a
B
(
a
,
b
)
I
x
(
a
,
b
+
1
)
=
I
x
(
a
,
b
)
+
x
a
(
1
−
x
)
b
b
B
(
a
,
b
)
∫
B
(
x
;
a
,
b
)
d
x
=
x
B
(
x
;
a
,
b
)
−
B
(
x
;
a
+
1
,
b
)
B
(
x
;
a
,
b
)
=
(
−
1
)
a
B
(
x
x
−
1
;
a
,
1
−
a
−
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\mathrm {d} x&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b)\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}}
Η αναπαράσταση ως συνεχές κλάσμα
B
(
x
;
a
,
b
)
=
x
a
(
1
−
x
)
b
a
(
1
+
d
1
1
+
d
2
1
+
d
3
1
+
d
4
1
+
⋯
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+}}{\frac {{d}_{2}}{1+}}{\frac {{d}_{3}}{1+}}{\frac {{d}_{4}}{1+}}\cdots \right)}}}
όπου οι μονοί και οι ζυγοί συντελεστές είναι οι εξής
d
2
m
+
1
=
−
(
a
+
m
)
(
a
+
b
+
m
)
x
(
a
+
2
m
)
(
a
+
2
m
+
1
)
{\displaystyle {d}_{2m+1}=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}}}
d
2
m
=
m
(
b
−
m
)
x
(
a
+
2
m
−
1
)
(
a
+
2
m
)
{\displaystyle {d}_{2m}={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}}
συγκλίνει γρήγορα όταν το
x
{\displaystyle x}
δεν είναι κοντά στο 1. Το
4
m
{\displaystyle 4m}
και
4
m
+
1
{\displaystyle 4m+1}
είναι μικρότερά από το
B
(
x
;
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}
, ενώ το
4
m
+
2
{\displaystyle 4m+2}
και
4
m
+
3
{\displaystyle 4m+3}
είναι μεγαλύτερα από το
B
(
x
;
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}
.
Για
x
>
a
+
1
a
+
b
+
2
{\displaystyle x>{\frac {a+1}{a+b+2}}}
, η συνάρτηση μπορεί να υπολογιστεί πιο αποτελεσματικά χρησιμοποιώντας την σχέση
B
(
x
;
a
,
b
)
=
B
(
a
,
b
)
−
B
(
1
−
x
;
b
,
a
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)}
.
Η συνάρτηση βήτα μπορεί να επεκταθεί σε μια συνάρτηση με περισσότερα από δύο ορίσματα:
B
(
α
1
,
α
2
,
…
α
n
)
=
Γ
(
α
1
)
Γ
(
α
2
)
⋯
Γ
(
α
n
)
Γ
(
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}
Αυτή η συνάρτηση βήτα πολλών μεταβλητών χρησιμοποιείται στον ορισμό της κατανομής Ντίριχλετ . Η σχέση του με τη συνάρτηση βήτα είναι αντίστοιχη με αυτή μεταξύ πολυωνυμικών συντελεστών και διωνυμικών συντελεστών. Για παράδειγμα, ικανοποιεί μια παρόμοια εκδοχή της ταυτότητας του Πασκάλ:
B
(
α
1
,
α
2
,
…
α
n
)
=
B
(
α
1
+
1
,
α
2
,
…
α
n
)
+
B
(
α
1
,
α
2
+
1
,
…
α
n
)
+
⋯
+
B
(
α
1
,
α
2
,
…
α
n
+
1
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}
Η συνάρτηση βήτα είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό και την αναπαράσταση του πλάτους σκέδασης για τις τροχιές Regge. Επιπλέον, ήταν το πρώτο γνωστό πλάτος σκέδασης στη θεωρία χορδών , που εικάστηκε για πρώτη φορά από τον Gabriele Veneziano. Εμφανίζεται επίσης στη θεωρία της διαδικασίας προνομιακής προσάρτησης, ενός τύπου στοχαστικής διαδικασίας καλπών. Η συνάρτηση βήτα είναι επίσης σημαντική στα στατιστικά στοιχεία, π.χ. για την κατανομή βήτα. Όπως αναφέρθηκε εν συντομία προηγουμένως, η συνάρτηση βήτα είναι στενά συνδεδεμένη με τη συνάρτηση γάμμα και παίζει σημαντικό ρόλο στον λογισμό .
↑ 1,0 1,1 1,2 Davis, Philip J. (1972), «6. Gamma function and related functions» , στο: Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , επιμ., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications , σελ. 258, ISBN 978-0-486-61272-0 , https://archive.org/details/handbookofmathe000abra/page/258/mode/2up?view=theater . Specifically, see 6.2 Beta Function.
↑ Artin, Emil, The Gamma Function , σελ. 18–19, http://www.plouffe.fr/simon/math/Artin%20E.%20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).pdf , ανακτήθηκε στις 2016-11-11
↑ Beta function : Series representations (Formula 06.18.06.0007) , https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Beta/06/03/0001/
↑ Mäklin, Tommi (2022), Probabilistic Methods for High-Resolution Metagenomics , Series of publications A / Department of Computer Science, University of Helsinki, Helsinki: Unigrafia, σελ. 27, ISBN 978-951-51-8695-9 , ISSN 2814-4031 , https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/349862/M%C3%A4klin_Tommi_dissertation_2022.pdf
↑ «Euler's Reflection Formula - ProofWiki» , proofwiki.org , https://proofwiki.org/wiki/Euler%27s_Reflection_Formula , ανακτήθηκε στις 2020-09-02
↑ Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), «26. Probability functions», στο: Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , επιμ., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications , σελ. 944 , ISBN 978-0-486-61272-0