Διαφορική εξίσωση Επεξεργασία

Η Διαφορική εξίσωση είναι μια μαθηματική εξίσωση που συνδέει μία συνάρτηση με τα παράγωγά της. Σε εφαρμογές, οι συναρτήσεις συνήθως αντιπροσωπεύουν φυσικές ποσότητες, τα παράγωγα αντιπροσωπεύουν τα ποσοστά μεταβολής τους, και η εξίσωση καθορίζει μια σχέση μεταξύ τους. Επειδή τέτοιες σχέσεις είναι εξαιρετικά κοινές, οι διαφορικές εξισώσεις διαδραματίζουν εξέχοντα ρόλο σε πολλούς κλάδους, συμπεριλαμβανομένων της μηχανικής, της φυσικής, της οικονομίας και της βιολογίας.

Στα καθαρά μαθηματικά, οι διαφορικές εξισώσεις έχουν μελετηθεί από πολλές διαφορετικές οπτικές γωνίες, αφορώντας κυρίως με τις λύσεις τους-το σύνολο των λειτουργιών που ικανοποιούν την εξίσωση. Μόνο οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις είναι που λύνονται με ρητούς τύπους. Ωστόσο, μερικές ιδιότητες των λύσεων μιας δοθείσας διαφορικής εξίσωσης μπορούν να προσδιορισθούν χωρίς να βρεθεί η ακριβή μορφή τους.

Εάν ένας ανεξάρτητος τύπος δεν είναι διαθέσιμος για την λύση, η λύση μπορεί να προσεγγιστεί αριθμητικά με τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων δίνει έμφαση στην ποιοτική ανάλυση των συστημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις, ενώ πολλές αριθμητικές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για τον προσδιορισμό λύσεων με ένα δεδομένο βαθμό ακρίβειας.

Ιστορία Επεξεργασία

Οι Διαφορικές Εξισώσεις ήρθαν στην επιφάνεια για πρώτη φορά με την εφεύρεση του λογισμού από τον Νεύτωνα και Leibniz. Στο κεφάλαιο 2 του έργου του το 1671 "Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum»,^[1]ο Ισαάκ Νεύτων παρέθεσε τρία είδη διαφορικών εξισώσεων:

${\frac {dy}{dx}}=f(x)$

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$

$x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y$

Λύνει αυτά και άλλα παραδείγματα χρησιμοποιώντας άπειρες σειρές και συζητά τη μη μοναδικότητα των λύσεων.

Ο Jacob Bernoulli πρότεινε τη διαφορική εξίσωση Bernoulli το 1695^[2]. Αυτή είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση της μορφής

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

για την οποία στο επόμενο έτος ο Leibniz λαμβάνει λύσεις με την απλούστευση της.^[3]

Ιστορικά, το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής, όπως αυτή ενός μουσικού οργάνου, μελετήθηκε από τον Jean le Rond d'Alembert, Λέοναρντ Όιλερ, ο Daniel Bernoulli, και Joseph-Louis Lagrange. ^[4]^[5]^[6]^[7]1746,ο d'Alembert ανακάλυψε την εξίσωση μονοδιάστατου κύματος, και μέσα σε δέκα χρόνια ο Euler ανακάλυψε την εξίσωση του τρισδιάστατου κύματος. ^[8]

Η εξίσωση Euler-Lagrange αναπτύχθηκε το 1750 από τον Euler και τον Lagrange κατά τη μελέτη του ταυτόχρονου προβλήματος. Αυτό, είναι το πρόβλημα του προσδιορισμού μιας καμπύλης στην οποία θα πέσει ένα σταθμισμένο σωματίδιο σε ένα σταθερό σημείο σε σταθερό χρονικό διάστημα, ανεξάρτητα από το σημείο εκκίνησης.

Ο Lagrange έλυσε αυτό το πρόβλημα το 1755 και έστειλε την λύση στον Euler. Οι δύο αυτοί ανέπτυξαν περαιτέρω την μέθοδο Lagrange και την εφάρμοσαν στην μηχανική, η οποία οδήγησε στη διατύπωση της Λαγκρανζιανή μηχανικής.

Ο Fourier δημοσίευσε την εργασία του σχετικά με τη ροή της θερμότητας στο Théorie analytique de la chaleur (Η αναλυτική θεωρία της θερμότητας),^[9], στην οποία στήριξε το σκεπτικό του στο νόμο ψύξης του Νεύτωνα, δηλαδή, ότι η ροή της θερμότητας μεταξύ δύο γειτονικών μορίων είναι ανάλογη με την εξαιρετικά μικρή διαφορά των θερμοκρασιών τους. Σε αυτό το βιβλίο περιλαμβάνεται η πρόταση του Fourier για την εξίσωση της θερμότητας για αγώγιμη διάχυση. Αυτή η μερική διαφορική εξίσωση διδάσκεται πλέον σε κάθε μαθητή της μαθηματικής φυσικής.

Παράδειγμα Επεξεργασία

Για παράδειγμα, στην κλασική μηχανική, η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από τη θέση και την ταχύτητα του, καθώς η αξία του χρόνου ποικίλλει. Οι νόμοι του Νεύτωνα επιτρέπουν (δεδομένης της θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης και τις διάφορες δυνάμεις που δρουν στο σώμα) να εκφράσουμε δυναμικά αυτές τις μεταβλητές ως μια διαφορική εξίσωση για άγνωστη θέση του σώματος ως συνάρτηση του χρόνου.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτή η διαφορική εξίσωση (αποκαλούμενη εξίσωση της κίνησης) μπορεί να λυθεί ρητά.

Ένα παράδειγμα μοντελοποίησης ενός προβλήματος πραγματικού κόσμου, χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας μιας σφαίρας που πέφτει μέσω του αέρα, λαμβάνοντας υπόψην μόνο τη βαρύτητα και την αντίσταση του αέρα. Η επιτάχυνση της μπάλας προς το έδαφος είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας μείον την επιτάχυνση, λόγω της αντίστασης του αέρα.

Η βαρύτητα θεωρείται σταθερή, και η αντίσταση του αέρα μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ανάλογη με την ταχύτητα της μπάλας. Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση της μπάλας, η οποία είναι ένα παράγωγο της ταχύτητας, εξαρτάται από την ταχύτητα (και η ταχύτητα εξαρτάται από το χρόνο). Η εύρεση της ταχύτητας ως συνάρτηση του χρόνου περιλαμβάνει την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης και την επαλήθευση της εγκυρότητας της.

Τύποι Επεξεργασία

Οι Διαφορικές Εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε διάφορες κατηγορίες. Εκτός από την περιγραφή των ιδιοτήτων της ίδιας της εξίσωσης, οι τάξεις αυτές των διαφορικών εξισώσεων μπορούν να βοηθήσουν στην ενημέρωση της επιλογή της προσέγγισης σε μία λύση. Συνήθως περιλαμβάνονται χρησιμοποιημένες διακρίσεις αν η εξίσωση είναι: Τακτική / Μερική, Γραμμική / Μη-γραμμικά, και Ομογενείς / Ανομοιογενής. Στον συγκεκριμένο κατάλογο δεν περιλαμβάνονται μόνο αυτές. Υπάρχουν πολλές άλλες ιδιότητες και υποκατηγορίες των διαφορικών εξισώσεων που μπορούν να είναι πολύ χρήσιμες σε συγκεκριμένα περιπτώσεις.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Επεξεργασία

Κύριο άρθρο: Συνήθης διαφορική εξίσωση ( Ordinary differential equation)

Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ODE) είναι μια εξίσωση που περιέχει μια συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής και τα παράγωγά της. Ο όρος «συνήθης» χρησιμοποιείται πιο πολύ σε αντίθεση με τον όρο μερικών διαφορικών εξισώσεων, ο οποίος μπορεί να συσχετίζεται με περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες έχουν λύσεις που μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιάζονται με συντελεστές, είναι καλά ορισμένες και κατανοητές, και λαμβάνουν ακριβή-κλειστή μορφής λύσεις. Αντίθετα, οι διαφορικές εξισώσεις που στερούνται πρόσθετη λύση είναι μη γραμμικές, και η επίλυσή τους είναι πολύ πιο περίπλοκη, καθώς σπάνια αντιπροσωπεύονται από στοιχειώδεις συναρτήσεις σε κλειστή μορφή: Αντ 'αυτού, οι ακριβείς και αναλυτικές λύσεις τους είναι σε σειρά ή σε ολοκληρωτική μορφή. Γραφικές και αριθμητικές μέθοδοι, που εφαρμόζονται με το χέρι ή με υπολογιστή, μπορούν να προσεγγίσουν λύσεις των διαφορικών εξισώσεων και ίσως δώσουν χρήσιμες πληροφορίες, συχνά με την απουσία της ακρίβειας, επαρκούν για αναλυτικές λύσεις.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Επεξεργασία

Κύριο άρθρο: Μερική διαφορική εξίσωση ( Partial differential equation)

Μια μερική διαφορική εξίσωση (PDE) είναι μια διαφορική εξίσωση που περιέχει άγνωστες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους τους. (Αυτό είναι σε αντίθεση με τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες ασχολούνται με τις λειτουργίες μιας μεταβλητής και τα παράγωγά τους.) Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις χρησιμοποιούνται για τη διαμόρφωση των προβλημάτων που αφορούν τις λειτουργίες πολλών μεταβλητών, και είτε λύνονται με το χέρι, ή χρησιμοποιούνται για να δημιουργήσουν ένα σχετικό μοντέλο υπολογιστή.

Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν μια μεγάλη ποικιλία φαινομένων όπως του ήχου, της θερμότητα, της ηλεκτροστατικής, της ηλεκτροδυναμικής, της ροή του υγρού, της ελαστικότητας, ή της κβαντικής μηχανικής. Αυτά τα φαινομενικά διακριτά φυσικά φαινόμενα μπορούν όμοια να υποβληθούν σε όρους μιας ΜΔΕ. Όπως ακριβώς οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις συχνά μοντελοποιούν μονοδιάστατα δυναμικά συστήματα, έτσι και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις συχνά μοντέλοποιούν πολυδιάστατα συστήματα. Οι ΜΔΕ βρίσκουν γενίκευση σε στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Επεξεργασία

Κύριο άρθρο: Γραμμική διαφορική εξίσωση (Linear differential equation)

Μία διαφορική εξίσωση είναι γραμμική αν η άγνωστη συνάρτηση και τα παράγωγά της έχουν βαθμό 1 (προϊόντα της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων του δεν επιτρέπονται), αλλιώς είναι μη γραμμικές. Η χαρακτηριστική ιδιότητα των γραμμικών εξισώσεων είναι ότι το σύνολο των λύσεων σχηματίζουν ένα συσχετισμένο υπόχωρο του κατάλληλου λειτουργικού χώρου, ο οποίος οδηγεί σε μία πολύ πιο ανεπτυγμένη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Ομοιογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις είναι μια υποκατηγορία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων για την οποία ο χώρος των λύσεων είναι ένας γραμμικός υποχώρος, δηλαδή το άθροισμα κάθε συνόλου λύσεων ή ο πολλαπλασιασμός των λύσεων είναι επίσης μια λύση. Οι συντελεστές της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της σε μία γραμμική διαφορική εξίσωση επιτρέπονται να είναι (γνωστές) συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής ή μεταβλητές· Αν αυτοί οι συντελεστές είναι σταθερές τότε πρόκειται για ένα σταθερό συντελεστή γραμμικής διαφορικής εξίσωσης.

Μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Επεξεργασία

Οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις σχηματίζoνται από τα στοιχεία της άγνωστης συνάρτησης και τα παράγωγά τους, τα οποία έχουν βαθμό > 1. Υπάρχουν πολύ λίγες μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Συγκεκριμένα αυτές που είναι γνωστές τυπικά εξαρτώνται από την εξίσωση οι οποία έχει ιδιαίτερες συμμετρίες. Οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μπορεί να εμφανίζουν πολύ περίπλοκη συμπεριφορά πάνω σε επεκτεταμένα χρονικά διαστήματα, χαρακτηριστικό του χάους. Ακόμη και τα θεμελιώδη ερωτήματα της ύπαρξης, της μοναδικότητας και της επεκτασιμότητας των λύσεων για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, και με καλά-ορισμένες αρχικές και συνοριακές τιμές για μη γραμμικές ΜΔΕ είναι δύσκολα προβλήματα και η επίλυσή τους σε ειδικές περιπτώσεις θεωρείται ότι είναι μια σημαντική πρόοδος στη μαθηματική θεωρία (βλ Navier-Stokes ύπαρξη και την ομαλότητα). Ωστόσο, εάν η διαφορική εξίσωση είναι καλά ορισμένη αναπαριστώντας μία ουσιαστική φυσική διεργασία, τότε περιμένει κανείς να έχει μια λύση^[10].

Οι Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις. Οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο υπό περιορισμένες συνθήκες. Για παράδειγμα, η εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή είναι μια προσέγγιση με την μη γραμμική εκκρεμή εξίσωση που ισχύει για μικρές ταλαντώσεις πλάτους (βλέπε παρακάτω).

Για την εξίσωση Επεξεργασία

Οι Διαφορικές εξισώσεις περιγράφονται από τη σειρά τους και καθορίζονται από τον όρο με τον υψηλότερο αριθμό παραγώγων. Μια εξίσωση που περιέχει μόνο μοναδικά παράγωγα είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, μια εξίσωση που περιέχει διπλά παράγωγα είναι μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, και ούτω καθεξής^[11].^[12]

Παραδείγματα Επεξεργασία

Στην πρώτη ομάδα παραδειγμάτων, ας είναι u μία άγνωστη συνάρτηση του x, και c και ω γνωστές σταθερές. Σημείωση: τόσο οι συνήθεις όσο και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις σε γενικές γραμμές κατατάσσονται ως γραμμικές και μη γραμμικές.

Ανομοιογενής πρώτης τάξης γραμμική σταθερός συντελεστής συνήθης διαφορική εξίσωση:

{\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.

Ομογενής γραμμική δεύτερης τάξης συνήθης διαφορική εξίσωση:

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.

Ομογενής δεύτερης τάξης γραμμική σταθερός συντελεστής συνήθης διαφορική εξίσωση που περιγράφει το αρμονικό ταλαντωτή:

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.

Ανομοιογενής πρώτης τάξης μη γραμμική συνήθης διαφορική εξίσωση:

{\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.

Δεύτερης τάξης μη γραμμική (λόγω τριγωνομετρικής συνάρτησης) συνήθης διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση ενός εκκρεμούς μήκους L:

L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.

Στην επόμενη ομάδα παραδειγμάτων, η άγνωστη συνάρτηση u εξαρτάται από δύο μεταβλητές Χ και Τ ή Χ και Υ.

Ομογενή πρώτης τάξης γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.

Ομογενής δεύτερης τάξης γραμμικής σταθερού συντελεστή μερικής διαφορικής εξίσωσης τύπος της ελλειπτικής, η εξίσωση Laplace:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

Τρίτης τάξης μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση, η εξίσωση του Korteweg-de Vries:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$

Ύπαρξη λύσεων Επεξεργασία

Οι επίλυση διαφορικών εξισώσεων δεν είναι σαν την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Οι λύσεις τους πολλές φορές δεν είναι μόνο ασαφής, αλλά το αν οι λύσεις είναι μοναδικές ή υπάρχουν είναι επίσης αξιοσημείωτα θέματα ενδιαφέροντος.

Για προβλήματα για πρώτη σειρά αρχικών τιμών, το θεώρημα Peano δίνει ένα σύνολο περιστάσεων στις οποίες υπάρχει μια λύση. Οποιοδήποτε σημεία $(a,b)$ στην xy-επίπεδο, ορίζουν κάποια ορθογώνια περιοχή $Z$ , έτσι ώστε $Z=[l,m]\times [n,p]$ και $(a,b)$ είναι στο εσωτερικό του $Z$ . Εάν μας δίνεται μια διαφορική εξίσωση ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)$ και η προϋπόθεση ότι $y=b$ , όταν $x=a$ , τότε υπάρχει τοπικά μια λύση για το πρόβλημα αν $g(x,y)$ και ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ είναι συνεχείς στο $Z$ υφίσταται. Αυτή η λύση υπάρχει σε κάποιο διάστημα με το κέντρο του το α. Η λύση μπορεί να μην είναι μοναδική. (Βλέπε: συνήθης διαφορική εξίσωση για άλλα αποτελέσματα.)

Ωστόσο, αυτό μας βοηθά μόνο με την πρώτη σειρά προβλημάτων αρχικής τιμής. Ας υποθέσουμε ότι είχαμε ένα γραμμικό πρόβλημα αρχικών τιμών της νιοστή σειρά:

f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)

Έτσι ώστε

y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\cdots

Για κάθε μη μηδενικό $f_{n}(x)$ , αν η $\{f_{0},f_{1},\cdots \}$ και $g$ είναι συνεχής σε κάποιο διάστημα που περιέχει το $x_{0}$ , $y$ είναι μοναδικό και υπάρχει.^[13]

Συναφείς έννοιες Επεξεργασία

Μία καθυστερημένη διαφορική εξίσωση (DDE) είναι μια εξίσωση για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, που συνήθως ονομάζεται χρόνος, στην οποία η παράγωγος της συνάρτησης σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα δίδεται όρους των τιμών της συνάρτησης που ήταν σε παλαιότερο χρόνο.

Μία διαφορική στοχαστική εξίσωση (SDE) είναι μια εξίσωση στην οποία η άγνωστη ποσότητα είναι μια στοχαστική διαδικασία και η εξίσωση περιλαμβάνει ορισμένες γνωστές στοχαστικές διαδικασίες, για παράδειγμα, η διαδικασία Wiener στην περίπτωση των εξισώσεων διάχυσης
Μια αλγεβρική διαφορική εξίσωση (DAE) είναι μια διαφορική εξίσωση που αποτελείται από διαφορικούς και αλγεβρικούς όρους, δοσμένους σε πεπλεγμένη μορφή.

Σύνδεση με διάφορες εξισώσεις Επεξεργασία

Δείτε επίσης: Χρονική κλίμακα λογισμού

Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων είναι στενά συνδεδεμένη με τη θεωρία των εξισώσεων των διαφορών, στις οποίες οι συντεταγμένες αναλαμβάνουν μόνο διακριτές τιμές, και η σχέση περιλαμβάνει τιμές της άγνωστης συνάρτησης ή των συναρτήσεων και τιμών σε κοντινές συντεταγμένες. Πολλές μέθοδοι για τον υπολογισμό αριθμητικών λύσεων διαφορικών εξισώσεων ή τη μελέτη των ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων περιέχουν προσέγγιση της λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης από τη λύση μιας αντίστοιχης εξίσωσης της διαφοράς.

Εφαρμογές Επεξεργασία

Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων είναι ένα ευρύ πεδίο σε καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά, στη φυσική και στη μηχανική. Όλες αυτές οι επιστήμες ασχολούνται με τις ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων διαφόρων τύπων. Στα καθαρά μαθηματικά επικεντρώνεται στην ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων, ενώ στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά δίνει έμφαση στην αυστηρή αιτιολόγηση των μεθόδων για την προσέγγιση λύσεων. Οι Διαφορικές εξισώσεις παίζουν σημαντικό ρόλο στη μοντελοποιήση σχεδόν κάθε φυσικής, τεχνικής, ή βιολογικής διεργασίας, από την ουράνια κίνηση, μέχρι το σχεδιασμό γέφυρας και αλληλεπιδράσεις μεταξύ των νευρώνων. Οι Διαφορικές εξισώσεις, όπως αυτές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της πραγματικής ζωής μπορεί να μην είναι άμεσα επιλύσιμες , δηλαδή δεν έχουν κλειστής μορφής λύσεις. Αντ 'αυτού, οι λύσεις μπορεί να προσεγγιστούν με τη χρήση αριθμητικών μεθόδων.

Πολλοί θεμελιώδεις νόμοι της φυσικής και της χημείας μπορούν να εκφραστούν ως διαφορικές εξισώσεις. Στη βιολογία και την οικονομία, οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων. Η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων αναπτύχθηκε για πρώτη φορά μαζί με τις επιστήμες, από τις οποίες οι εξισώσεις προήλθαν και βρήκαν εφαρμογή τα αποτελέσματα τους. Ωστόσο μερικές φορές, ποικίλα προβλήματα, που κατάγωγονται από αρκετά διακριτά επιστημονικά πεδία, μπορεί να οδηγήσουν σε πανομοιότυπες διαφορικές εξισώσεις. Κάθε φορά που συμβαίνει αυτό, η μαθηματική θεωρία πίσω από τις εξισώσεις μπορεί να θεωρηθεί ως μια ενωτική αρχή πίσω από ποικίλα φαινόμενα. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη διάδοση του φωτός και του ήχου στην ατμόσφαιρα, και των κυμάτων στην επιφάνεια μιας λίμνης. Όλα αυτά μπορούν να περιγραφούν από την ίδια δεύτερης τάξης μερική διαφορική εξίσωση, η κυματική εξίσωση, η οποία μας επιτρέπει να σκεφτούμε το φως και τον ήχο ως μορφές κυμάτων, όπως περίπου οικεία κύματα στο νερό. Η Αγωγιμότητα της θερμότητας, η θεωρία της οποίας αναπτύχθηκε από τον Joseph Fourier, διέπεται από μία άλλη δεύτερης τάξης μερική διαφορική εξίσωση, την εξίσωση της θερμότητας. Αποδεικνύεται ότι πολλές διαδικασίες διάχυσης, ενώ είναι φαινομενικά διαφορετικές, περιγράφονται από την ίδια εξίσωση·η εξίσωση Black-Scholes στη οικονομία, για παράδειγμα, σχετίζεται με την εξίσωση θερμότητας.

Φυσική Επεξεργασία

Euler-Lagrange εξίσωση στην κλασική μηχανικη
εξισώσεις Χάμιλτον στην κλασσική μηχανική
Ραδιενεργή διάσπαση στην πυρηνική φυσική
Ο νόμος του Νεύτωνα της ψύξη στη θερμοδυναμική
Η κυματική εξίσωση
Η εξίσωση θερμότητας στη θερμοδυναμική
Η εξίσωση Laplace, η οποία ορίζει αρμονικές συναρτήσεις
Η εξίσωση Poisson
Ο γεωδαιτικός εξίσωση
Οι Navier-Stokes εξισώσεις στη ρευστοδυναμική
Η εξίσωση διάχυσης σε στοχαστικές διαδικασίες
Η εξίσωση Κυκλοθερμικής-διάχυσης στη ρευστοδυναμικής
Οι εξισώσεις Cauchy-Riemann στην πολύπλοκη ανάλυση
Η εξίσωση Poisson-Boltzmann στη μοριακή δυναμική
Οι εξισώσεις των ρηχών νερών
Οικουμενική διαφορική εξίσωση
Οι εξισώσεις Lorenz των οποίων οι λύσεις εμφανίζουν χαοτική ροή

Κλασική μηχανική Επεξεργασία

Για τη δύναμη που δρα σε ένα σωματίδιο είναι γνωστό ότι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα είναι επαρκής για να περιγράψει την κίνηση ενός σωματιδίου. Μόλις οι ανεξάρτητες σχέσεις για κάθε δύναμη που δρα σε ένα σωματίδιο είναι διαθέσιμες, τότε μπορούν να υποκατασταθούν από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για να ληφθεί μια συνήθης διαφορική εξίσωση, η οποία ονομάζεται εξίσωση της κίνησης.

Ηλεκτροδυναμική Επεξεργασία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι ένα σύνολο μερικών διαφορικών εξισώσεων, που σε συνδυασμό με το νόμο της δύναμη του Lorentz, αποτελούν το θεμέλιο της κλασικής ηλεκτροδυναμικής,της κλασικής οπτικής, και των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Τα πεδία αυτά με τη σειρά τους αποτελούν τη βάση στις ηλεκτρικές και επικοινωνιακές τεχνολογίες. Οι εξισώσεις του Maxwell περιγράφουν πώς τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία δημιουργούνται και τροποποιούνται μεταξύ τους και από τα φορτία και τα ρεύματα. Τα όνομά τους είναι από το φυσικό Scottish και τον μαθηματικό James Clerk Maxwell, ο οποίος δημοσίευσε μια πρώιμη μορφή αυτών των εξισώσεων μεταξύ 1861 και 1862.

Η γενική σχετικότητα Επεξεργασία

Οι εξισώσεις πεδίου Einstein (Επίσης γνωστή ως «εξισώσεις του Αϊνστάιν») είναι ένα σύνολο από δέκα μερικές διαφορικές εξισώσεις στη γενική θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, που περιγράφουν τη θεμελιώδη αλληλεπίδραση της βαρύτητας, ως αποτέλεσμα του χωροχρόνου που καμπυλώνονται από την ύλη και την ενέργεια ^[14] . Η Πρώτη δημοσιεύθηκε από τον Einstein το 1915 ^[15], ως εξίσωση τανυστής, οι εξισώσεις πεδίου Einstein εξισώνουν την τοπική καμπυλότητα του χωροχρόνου (που εκφράζεται από τον τανυστή του Einstein) με την τοπική ενέργεια και την ορμή μέσα σε αυτό το χωρόχρονο (που εκφράζεται από το στρες-ενέργειας τανυστή). ^[16]

Η κβαντομηχανική Επεξεργασία

Στην κβαντομηχανική, ο ανάλογος νόμος του Νεύτωνα είναι εξίσωση του Schrödinger (μια μερική διαφορική εξίσωση) για ένα κβαντικό σύστημα (συνήθως άτομα, μόρια, και υποατομικά σωματίδια είτε ελεύθερα, δεσμευμένα, ή εντοπισμένα). Δεν είναι μια απλή αλγεβρική εξίσωση, αλλά σε γενικές γραμμές μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση, που περιγράφει τη χρονική εξέλιξη της συνάρτηση κύματος του συστήματος (ονομάζεται επίσης "κατάσταση συνάρτησης").^[17]

Βιολογία Επεξεργασία

Verhulst εξίσωση - βιολογική αύξηση του πληθυσμού

von Bertalanffy μοντέλο - βιολογική ατομική ανάπτυξη

Δυναμική replicator - που βρέθηκε στη θεωρητική βιολογία

Hodgkin-Huxley μοντέλο - νευρικά δυναμικά δράσης

Εξισώσεις θηρευτών-θηραμάτων Επεξεργασία

Οι εξισώσεις Lotka-Volterra, επίσης γνωστές ως εξισώσεις θηρευτών-θηραμάτων, είναι ένα ζευγάρι της πρώτης τάξης, μη γραμμικών, διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται συχνά για να περιγράψουν τη δυναμική των βιολογικών συστημάτων τα οποία δύο είδη αλληλεπιδρούν, το ένα ως αρπακτικό και η άλλο ως θήραμα.

Χημεία Επεξεργασία

Ο νόμος του ρυθμού ή η εξίσωση ρυθμού για μια χημική αντίδραση είναι μια διαφορική εξίσωση που συνδέει την ταχύτητα της αντίδρασης με συγκεντρώσεις ή πιέσεις των αντιδρώντων και σταθερές παραμέτρους (κανονικοί συντελεστές ταχύτητας και μερικές παραγγελίες αντίδραση).^[18] Για να προσδιορισουμε την εξίσωση του ρυθμού, πρέπει να συνδέσουμε την ταχύτητα της αντίδρασης με ένα ισοζύγιο μάζας για το σύστημα.^[19]

Οικονομικά Επεξεργασία

Το κλειδί εξίσωση του μοντέλου Solow-Swan ${\frac {\partial k(t)}{\partial t}}=s[k(t)]^{\alpha }-\delta k(t)$

Οι Black-Scholes PDE

Μαλθουσιανή ανάπτυξη μοντέλου

Το μοντέλο διαφήμιση Vidale-Wolfe

Δείτε επίσης Επεξεργασία

Σύνθετη διαφορική εξίσωση

Ακριβής διαφορική εξίσωση

Αρχική κατάσταση

Αναπόσπαστες εξισώσεις

Αριθμητικές μέθοδοι

Θεώρημα Picard-Lindelöf για την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων

Αναδρομική σχέση, γνωστή ως «Εξίσωση Διαφορά»

Περαιτέρω ανάγνωση Επεξεργασία

P. Abbott and H. Neill, Teach Yourself Calculus, 2003 pages 266-277
P. Blanchard, R. L. Devaney, G. R. Hall, Differential Equations, Thompson, 2006
E. A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955
E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1956
W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
R. I. Porter, Further Elementary Analysis, 1978, chapter XIX Differential Equation
D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι Επεξεργασία

Lectures on Differential Equations MIT ανοιχτό διδακτικό μάθημα
Online Notes / Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University
Differential Equations, S.O.S. Mathematics
Introduction to modeling via differential equationsI Εισαγωγή στην μοντελοποίηση των εννοιών των διαφορικών εξισώσεων, με επικριτικές παρατηρήσεις
Mathematical Assistant on Web Symbolic ODE tool, using Maxima
Exact Solutions of Ordinary Differential Equations
Collection of ODE and DAE models of physical systems μοντέλα MATLAB
Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers Ένα εισαγωγικό σημειωματάριο διαφορικών εξισώσεων από τον Jiri Lebl από το UIUC
Khan Academy Video playlist on differential equations θέματα που καλύπτονται τον πρώτο χρόνο μάθησης διαφορικών εξισώσεων.
MathDiscuss Video playlist on differential equations

Ο χρήστης συμμετέχει σε δραστηριότητα μετάφρασης λημμάτων, ως φοιτητής του τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ (πληροφορίες).
Ο Α.Μ. του είναι 14714.

↑ Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
↑ Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum
↑ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
↑ Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 6. New York: Springer-Verlag, σελ. ix + 184 pp.. ISBN 0-3879-0626-6. ISBN 0-3879-0626-6. GRAY, JW (July 1983). «BOOK REVIEWS». BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 9 (1). (retrieved 13 Nov 2012).
↑ Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). «The Vibrating String Controversy». Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. doi:10.1119/1.15311. Bibcode: 1987AmJPh..55...33W.
↑ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
↑ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
↑ Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
↑ Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (στα French). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081. CS1 maint: Μη αναγνωρίσιμη γλώσσα (link)
↑ (στα αγγλικά) Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 3.. 2016-05-06.
↑ «Weisstein, Eric W. "Ordinary Differential Equation Order." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html» (στα αγγλικά). Wikipedia, the free encyclopedia. 2016-05-06. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html.
↑ «Order and degree of a differential equation, accessed Dec 2015».
↑ «Book sources» (στα αγγλικά). Wikipedia, the free encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0-534-37388-7.
↑ «Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity" (PDF). Annalen der Physik 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702.» (στα αγγλικά). Wikipedia, the free encyclopedia. 2016-05-06. https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation#cite_note-ein-14.
↑ «Einstein, Albert (November 25, 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847. Retrieved 2006-09-12».
↑ «Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0 Chapter 34, p. 916».
↑ «Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, pp. 1–2, ISBN 0-13-111892-7».
↑ «IUPAC Gold Book definition of rate law. See also: According to IUPAC Compendium of Chemical Terminology».
↑ «Kenneth A. Connors Chemical Kinetics, the study of reaction rates in solution, 1991, VCH Publishers».

[1] Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].

[2] Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum

[3] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0

[4] Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 6. New York: Springer-Verlag, σελ. ix + 184 pp.. ISBN 0-3879-0626-6. ISBN 0-3879-0626-6. GRAY, JW (July 1983). «BOOK REVIEWS». BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 9 (1). (retrieved 13 Nov 2012).

[5] Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). «The Vibrating String Controversy». Am. J. Phys. 55 (1): 33–37. doi:10.1119/1.15311. Bibcode: 1987AmJPh..55...33W.

[6] For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.

[7] For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)

[Speiser-8] Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[9] Fourier, Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (στα French). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081. CS1 maint: Μη αναγνωρίσιμη γλώσσα (link)

[10] (στα αγγλικά) Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1967). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th ed.). John Wiley & Sons. p. 3.. 2016-05-06.

[11] «Weisstein, Eric W. "Ordinary Differential Equation Order." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html» (στα αγγλικά). Wikipedia, the free encyclopedia. 2016-05-06. http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquationOrder.html.

[12] «Order and degree of a differential equation, accessed Dec 2015».

[13] «Book sources» (στα αγγλικά). Wikipedia, the free encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/0-534-37388-7.

[14] «Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity" (PDF). Annalen der Physik 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702.» (στα αγγλικά). Wikipedia, the free encyclopedia. 2016-05-06. https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation#cite_note-ein-14.

[15] «Einstein, Albert (November 25, 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847. Retrieved 2006-09-12».

[16] «Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0 Chapter 34, p. 916».

[17] «Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, pp. 1–2, ISBN 0-13-111892-7».

[18] «IUPAC Gold Book definition of rate law. See also: According to IUPAC Compendium of Chemical Terminology».

[19] «Kenneth A. Connors Chemical Kinetics, the study of reaction rates in solution, 1991, VCH Publishers».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

Erasmiap

Πίνακας περιεχομένων