Λογική διάζευξη

Στη μαθηματική λογική, διάζευξη είναι ο λογικός τελεστής που δίνει αποτέλεσμα αληθές όταν ένας ή περισσότεροι από τους όρους στους οποίους ενεργεί είναι αληθής. Στην καθομιλουμένη γλώσσα αντιστοιχεί στην φράση "ή", αν και συχνά η φράση "ή" έχει την έννοια της αποκλειστικής διάζευξης. Στον γραπτό λόγο συχνά χρησιμοποιείται και η γραφή "ή/και" για να τονιστεί ότι πρόκειται για απλή και όχι αποκλειστική διάζευξη.

Για τη λογική διάζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα OR (από την αγγλική λέξη or για το ή) και $\lor$ (από το πρώτο γράμμα της λατινικής λέξης vel για το ή).^[1]^:147-148^[2]^:21^[3]^:17^[4]^:17^[5]^:154

Πίνακας αλήθειας

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας για την πρόταση $p\lor q$ :


$p$	$q$	$p\lor q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

όπου 0 είναι ψευδής και 1 είναι αληθής.

Ιδιότητες

Η διάζευξη είναι ταυτοδυναμία, δηλαδή $x\lor x=x$ .

Απόδειξη

Προκύπτει από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα αληθείας.

Το $0$ είναι ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή $x\lor 0=0\lor x=x$ .

Απόδειξη

Προκύπτει από τις τρεις πρώτες γραμμές του πίνακα αληθείας.

Το $0$ είναι απορροφητικό στοιχείο, δηλαδή $x\lor 1=1\lor x=1$ .

Απόδειξη

Προκύπτει από τις τρεις τελευταίες γραμμές του πίνακα αληθείας.

Ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή $x\lor y=y\lor x$ .

Απόδειξη

Προκύπτει από του πίνακα αληθείας.

Ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή $x\lor (y\lor z)=(x\lor y)\lor z$ .

Απόδειξη


$x$	$y$	$z$	$x\lor (y\lor z)$	$(x\lor y)\lor z$
0	0	0	$0\lor 0=0$	$0\lor 0=0$
0	0	1	$0\lor 1=1$	$0\lor 1=1$
0	1	0	$0\lor 1=1$	$1\lor 0=1$
0	1	1	$0\lor 1=1$	$1\lor 1=1$
1	0	0	$1\lor 0=1$	$1\lor 0=1$
1	0	1	$1\lor 1=1$	$1\lor 1=1$
1	1	0	$1\lor 1=1$	$1\lor 1=1$
1	1	1	$1\lor 1=1$	$1\lor 1=1$

Ικανοποιεί την επιμεριστική ιδιότητα ως προς τη λογική σύζευξη, δηλαδή

x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)

, και

x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)

.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Hayes, John P. (1993). Introduction to Digital Logic Design. Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-15461-7.
↑ Harris, David Money (2013). Digital design and computer architecture (2η έκδοση). Waltham, MA: Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-394424-5.
↑ Κολέτσος, Γεώργιος. «Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων» (PDF). Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 3 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ Κολέτσος, Γ. (2015). Μαθηματική λογική. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-785. ISBN 978-960-603-311-7.
↑ Ζάχος, Ε.· Παγουρτζής, Α.· Σούλιου, Θ. (2015). «Μαθηματική Λογική». Θεμελίωση επιστήμης υπολογιστών. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις.

[H93-1] Hayes, John P. (1993). Introduction to Digital Logic Design. Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-15461-7.

[2] Harris, David Money (2013). Digital design and computer architecture (2η έκδοση). Waltham, MA: Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-394424-5.

[3] Κολέτσος, Γεώργιος. «Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων» (PDF). Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 3 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.

[4] Κολέτσος, Γ. (2015). Μαθηματική λογική. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-785. ISBN 978-960-603-311-7.

[5] Ζάχος, Ε.· Παγουρτζής, Α.· Σούλιου, Θ. (2015). «Μαθηματική Λογική». Θεμελίωση επιστήμης υπολογιστών. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]