Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

Η μεσοκάθετος $\epsilon$ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος

Η μεσοκάθετη αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Θεώρημα: Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Απόδειξη: Έστω $\mathrm {AB}$ ένα ευθύγραμμο τμήμα και $\Sigma$ ένα σημείο της μεσοκάθετής του. Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {AM\Sigma }$ και $\mathrm {BM\Sigma }$ είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι $\mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma }$.

Αντίστροφα, έστω $\mathrm {AB}$ το ευθύγραμμο τμήμα και $\mathrm {\Sigma }$ ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε $\mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma }$. Αν $\mathrm {M}$ είναι το ίχνος του $\mathrm {\Sigma }$ στο $\mathrm {AB}$, τα τρίγωνα $\mathrm {AM\Sigma }$ και $\mathrm {BM\Sigma }$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε $\mathrm {AM} =\mathrm {BM}$, δηλαδή το $\mathrm {M}$ θα είναι το μέσο του $\mathrm {AB}$ και η κάθετη $\mathrm {\Sigma M}$ θα είναι η μεσοκάθετη. $\square$

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$ δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο

$y-{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}=-{\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}}\cdot \left(x-{\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}}\right)$,

χρησιμοποιώντας ότι η ευθεία διέρχεται από το το μέσο $\left({\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}},{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}\right)$ του $\mathrm {AB}$ και έχει κλίση

$m={\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}},$

ως κάθετη στο $\mathrm {AB}$.

Γεωμετρική κατασκευή

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {A}$ και $\mathrm {B}$ και ακτίνα $\mathrm {AB}$.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ των δύο κύκλων.
3. Η ευθεία που ενώνει τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ είναι η μεσοκάθετος του $\mathrm {AB}$.

Μεσοκάθετοι τριγώνου

Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το περίκεντρο.

Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.

(Απόδειξη) Έστω $\mathrm {O'}$ η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {B\Gamma }$. Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι

$\mathrm {AO'} =\mathrm {BO'}$ και $\mathrm {BO'} =\mathrm {\Gamma O'}$.

Άρα το $\mathrm {O'}$ ισαπέχει και από το σημείο $\mathrm {\Gamma }$. Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του $\mathrm {A\Gamma }$. Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των $\mathrm {AB}$, $\mathrm {B\Gamma }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ συντρέχουν στο $\mathrm {O'}$. $\square$

Δείτε επίσης

• Ισοσκελές τρίγωνο
• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Περιγεγραμμένος κύκλος