Πίνακας Πασκάλ

Στα μαθηματικά, ιδίως στη θεωρία πινάκων και στη συνδυαστική, ένας πίνακας Πασκάλ^[1]^[2]είναι ένας πίνακας (ενδεχομένως άπειρος) που περιέχει τους διωνυμικούς συντελεστές ως στοιχεία του. Είναι επομένως μια κωδικοποίηση του τριγώνου του Πασκάλ σε μορφή πίνακα. Υπάρχουν τρεις φυσικοί τρόποι για να επιτευχθεί αυτό: ως κάτω τριγωνικός πίνακας, ως άνω τριγωνικός πίνακας ή ως συμμετρικός πίνακας. Παραδείγματος χάριν, οι πίνακες 5 × 5 είναι οι εξής:

$L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,$

$U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,$

$S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}=L_{5}\times U_{5}$

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι με τους οποίους το τρίγωνο του Πασκάλ μπορεί να τεθεί σε μορφή πίνακα, αλλά αυτοί δεν επεκτείνονται εύκολα στο άπειρο^[3].

Ορισμός

Τα μη μηδενικά στοιχεία ενός πίνακα Πασκάλ δίνονται από τους διωνυμικούς συντελεστές:

$L_{ij}={i \choose j}={\frac {i!}{j!(i-j)!}},j\leq i$

$U_{ij}={j \choose i}={\frac {j!}{i!(j-i)!}},i\leq j$

$S_{ij}={i+j \choose i}={i+j \choose j}={\frac {(i+j)!}{i!j!}}$

έτσι ώστε οι δείκτες i, j να ξεκινούν από το 0, και το ! συμβολίζει το παραγοντικό.

Ιδιότητες

Οι πίνακες έχουν την ενδιαφέρουσα σχέση S_n = L_nU_n. Από αυτό γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι και οι τρεις πίνακες έχουν ορίζουσα 1, καθώς η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι απλώς το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του, τα οποία είναι όλα 1 και για τους L_n και για τους U_n. Με άλλα λόγια, οι πίνακες S_n, L_n και U_n είναι ορίζουσα μονάδα, με τους L_n και U_n να έχουν ίχνος n.

Το ίχνος του S_n δίνεται από τη σχέση

{\text{tr}}(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}

με τους πρώτους όρους να δίνονται από την ακολουθία 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (ακολουθία A006134 στην OEIS).

Κατασκευή

Ένας πίνακας Πασκάλ μπορεί στην πραγματικότητα να κατασκευαστεί με τη λήψη του εκθετικού πίνακα ενός ειδικού υποδιαγώνιου ή υπερδιαγώνιου πίνακα^[4]. Το παρακάτω παράδειγμα κατασκευάζει έναν πίνακα Πασκάλ 7 × 7 αλλά η μέθοδος λειτουργεί για οποιουσδήποτε επιθυμητούς πίνακες Πασκάλ n × n. Οι τελείες στους ακόλουθους πίνακες αντιπροσωπεύουν μηδενικά στοιχεία.

{\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}1}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}1}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\\therefore &S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}{\color {white}i}.&1&.&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&2&.&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&3&.&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&4&.&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&5&.\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&6\\{\color {white}i}.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}

Δεν μπορεί να θεωρηθεί απλώς ότι exp(A) exp(B) = exp(A + B), για n × n πίνακες A και B- αυτή η ισότητα ισχύει μόνο όταν AB = BA (δηλαδή όταν οι πίνακες A και B αντιμετατίθενται). Στην κατασκευή συμμετρικών πινάκων Πασκάλ όπως ο παραπάνω, οι υποδιαγώνιοι και υπερδιαγώνιοι πίνακες δεν αντιμετατίθενται, οπότε η (ίσως) δελεαστική απλούστευση που περιλαμβάνει την πρόσθεση των πινάκων δεν μπορεί να γίνει.

Μια χρήσιμη ιδιότητα των υποδιαγώνιων και υπερδιαγώνιων πινάκων που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή είναι ότι και οι δύο είναι μηδενικοί, δηλαδή, όταν ανυψώνονται σε μια αρκετά μεγάλη ακέραια δύναμη, εκφυλίζονται στον μηδενικό πίνακα. (Βλέπε πίνακα μετατόπισης για περισσότερες λεπτομέρειες.) Καθώς οι n × n γενικευμένοι πίνακες μετατόπισης που χρησιμοποιούμε γίνονται μηδενικοί όταν ανυψώνονται σε δύναμη n, κατά τον υπολογισμό του εκθετικού πίνακα χρειάζεται να εξετάσουμε μόνο τους πρώτους n + 1 όρους της άπειρης σειράς για να λάβουμε ένα ακριβές αποτέλεσμα.

Παραλλαγές

Ενδιαφέρουσες παραλλαγές μπορούν να προκύψουν με προφανή τροποποίηση του πίνακα-λογάριθμου PL₇ και στη συνέχεια εφαρμογή του εκθετικού πίνακα.

Το πρώτο παράδειγμα που ακολουθεί χρησιμοποιεί τα τετράγωνα των τιμών του λογαριθμικού πίνακα και κατασκευάζει έναν 7 × 7 « Λαγκέρ»- πίνακα (ή πίνακα των συντελεστών των πολυωνύμων Λαγκέρ

{\begin{array}{lll}&LAG_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&4&.&.&.&.&.\\.&.&9&.&.&.&.\\.&.&.&16&.&.&.\\.&.&.&.&25&.&.\\.&.&.&.&.&36&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\2&4&1&.&.&.&.\\6&18&9&1&.&.&.\\24&96&72&16&1&.&.\\120&600&600&200&25&1&.\\720&4320&5400&2400&450&36&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}

Ο πίνακας Λαγκέρ χρησιμοποιείται στην πραγματικότητα με κάποια άλλη κλιμάκωση και/ή με το σύστημα των εναλλασσόμενων προσήμων. (Βιβλιογραφία σχετικά με γενικεύσεις σε υψηλότερες δυνάμεις δεν έχει βρεθεί ακόμα)

Το δεύτερο παράδειγμα παρακάτω χρησιμοποιεί τα γινόμενα v(v + 1) των τιμών του log-matrix και κατασκευάζει έναν 7 × 7 «Λαχ»- πίνακα (ή πίνακα συντελεστών των αριθμών Λαχ)

{\begin{array}{lll}&LAH_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\2&.&.&.&.&.&.\\.&6&.&.&.&.&.\\.&.&12&.&.&.&.\\.&.&.&20&.&.&.\\.&.&.&.&30&.&.\\.&.&.&.&.&42&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.\\2&1&.&.&.&.&.&.\\6&6&1&.&.&.&.&.\\24&36&12&1&.&.&.&.\\120&240&120&20&1&.&.&.\\720&1800&1200&300&30&1&.&.\\5040&15120&12600&4200&630&42&1&.\\40320&141120&141120&58800&11760&1176&56&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}

Η χρήση του v(v − 1) παρέχει μια διαγώνια μετατόπιση προς τα κάτω δεξιά.

Το τρίτο παράδειγμα παρακάτω χρησιμοποιεί το τετράγωνο του αρχικού PL₇-πίνακα, διαιρεμένο με το 2, με άλλα λόγια: τα διωνυμικά πρώτης τάξης (binomial(k, 2)) στη δεύτερη υποδιαγώνιο και κατασκευάζει έναν πίνακα, ο οποίος εμφανίζεται στο πλαίσιο των παραγώγων και των ολοκληρωμάτων της συνάρτησης σφάλματος Γκάους:

{\begin{array}{lll}&GS_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&3&.&.&.&.&.\\.&.&6&.&.&.&.\\.&.&.&10&.&.&.\\.&.&.&.&15&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\.&1&.&.&.&.&.\\1&.&1&.&.&.&.\\.&3&.&1&.&.&.\\3&.&6&.&1&.&.\\.&15&.&10&.&1&.\\15&.&45&.&15&.&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \end{array}}

Εάν ο πίνακας αυτός αντιστραφεί (χρησιμοποιώντας, για παράδειγμα, τον αρνητικό λογάριθμο του πίνακα), τότε ο πίνακας αυτός έχει εναλλασσόμενα πρόσημα και δίνει τους συντελεστές των παραγώγων (και κατ' επέκταση των ολοκληρωμάτων) της συνάρτησης σφάλματος του Γκάους. (Βιβλιογραφία για γενικεύσεις σε μεγαλύτερες δυνάμεις δεν έχει βρεθεί ακόμη).

Μια άλλη παραλλαγή μπορεί να προκύψει επεκτείνοντας τον αρχικό πίνακα σε αρνητικές τιμές:

{\begin{array}{lll}&\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&5&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-5&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\10&-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-10&6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\5&-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.&.\\-1&1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&0&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&2&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&3&3&1&.&.\\.&.&.&.&.&.&1&4&6&4&1&.\\.&.&.&.&.&.&1&5&10&10&5&1\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375
Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
G. Helms Pascalmatrix in a project of compilation of facts about Numbertheoretical matrices
G. Helms Gauss-matrix
Weisstein, Eric W. Gaussian-function
Weisstein, Eric W. Erf-function
Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial". Hermite-polynomials
Endl, Kurt "Über eine ausgezeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen und des Hermiteschen Polynomsystems". In: PERIODICAL VOLUME 65 Mathematische Zeitschrift Kurt Endl
OEIS sequence A066325 (Coefficients of unitary Hermite polynomials Hen(x)) (Related to Gauss-matrix). (Related to Gauss-matrix).

Παραπομπές

↑ «Pascal triangle - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 26 Ιουλίου 2024.
↑ Call, Gregory S.; Velleman, Daniel J. (1993). «Pascal's Matrices». The American Mathematical Monthly 100 (4): 372–376. doi:10.2307/2324960. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2324960.
↑ Birregah, Babiga; Doh, Prosper K.; Adjallah, Kondo H. (2010-07-01). «A systematic approach to matrix forms of the Pascal triangle: The twelve triangular matrix forms and relations» (στα αγγλικά). European Journal of Combinatorics 31 (5): 1205–1216. doi:10.1016/j.ejc.2009.10.009. ISSN 0195-6698.
↑ «Pascal Matrices (and Mesh Generation!) | Mathematical Institute». www.maths.ox.ac.uk. Ανακτήθηκε στις 26 Ιουλίου 2024.

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).

[1] «Pascal triangle - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 26 Ιουλίου 2024.

[2] Call, Gregory S.; Velleman, Daniel J. (1993). «Pascal's Matrices». The American Mathematical Monthly 100 (4): 372–376. doi:10.2307/2324960. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2324960.

[3] Birregah, Babiga; Doh, Prosper K.; Adjallah, Kondo H. (2010-07-01). «A systematic approach to matrix forms of the Pascal triangle: The twelve triangular matrix forms and relations» (στα αγγλικά). European Journal of Combinatorics 31 (5): 1205–1216. doi:10.1016/j.ejc.2009.10.009. ISSN 0195-6698.

[4] «Pascal Matrices (and Mesh Generation!) | Mathematical Institute». www.maths.ox.ac.uk. Ανακτήθηκε στις 26 Ιουλίου 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]