Στατική

Η στατική είναι κλάδος της κλασικής μηχανικής και κατ' επέκταση της μηχανικής που αφορά την ανάλυση φορτίων (δύναμη και ροπή) σε ένα φυσικό σύστημα στο οποίο τα σώματα βρίσκονται σε στατική ισορροπία δηλαδή, σε μια κατάσταση όπου οι σχετικές θέσεις των υποσυστημάτων δεν μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου, ή όταν τα συστατικά ή οι δομές έχουν σταθερές ταχύτητες. Όταν υπάρχει στατική ισορροπία, τότε το σύστημα βρίσκεται όπως λέμε «σε ηρεμία», ή το κέντρο μάζας του κινείται με σταθερή ταχύτητα.

Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο κίνησης του Νεύτωνα, στην περίπτωση της στατικής ισορροπίας ισχύει ότι το άθροισμα των δυνάμεων και το άθροισμα των ροπών (συνισταμένη δύναμη-ροπή) που ασκούνται στο σύστημα σε κάθε σημείο του είναι μηδέν. Το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται και ισούται με το μηδέν είναι γνωστή ως η πρώτη προϋπόθεση για την ισορροπία, και η συνισταμένη ροπή που ασκείται και ισούται με το μηδέν είναι γνωστή ως η δεύτερη προϋπόθεση για την ισορροπία.

Φορείς-διανύσματα

Παράδειγμα ενός συστήματος σε στατική ισορροπία. Το άθροισμα των δυνάμεων και των ροπών είναι μηδέν.

Ένα βαθμωτό μέγεθος είναι μια ποσότητα, όπως η μάζα ή η θερμοκρασία, η οποία έχει μόνο ένα μέγεθος. Ένας φορέας-διάνυσμα είναι μια ποσότητα που έχει τόσο ένα μέγεθος όσο και μια κατεύθυνση. Υπάρχουν αρκετοί συμβολισμοί για τους φορείς-διανύσματα, όπως οι εξής:

Χαρακτήρες έντονης γραφής: $\mathbf {V}$
Χαρακτήρες με υπογράμμιση: ${\underline {V}}$
Χαρακτήρες με ένα βέλος από πάνω: ${\vec {V}}$ .

Τα διανύσματα μπορούν να προστεθούν με τη μέθοδο του Κανόνα Παραλληλογράμμου. Επιπλέον τα διανύσματα έχουν ως βάση επιμέρους διανύσματα $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ τα οποία βρίσκονται πάνω στους άξονες x, y, και z.

Δύναμη

Στην Κλασική Μηχανική ως δύναμη ορίζεται το άθροισμα : $\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}$ και είναι η αιτία που προκαλεί κάθε μεταβολή της κίνησης ή της γεωμετρίας των σωμάτων. Ένα σώμα μπορεί να δεχθεί ταυτόχρονα πολλές δυνάμεις το αποτέλεσμα των οποίων θα είναι σε κάθε σημείο μία συνισταμένη δύναμη και μία συνισταμένη ροπή.

Μια δύναμη μπορεί να είναι είτε μια ώθηση ή μια έλξη. Μια δύναμη τείνει να μετακινήσει το σώμα στο οποίο ασκείται, προς την κατεύθυνση της δράσης της. Η δράση της δύναμης χαρακτηρίζεται από το μέγεθος της, από την κατεύθυνση της δράσης της, αλλά και από το σημείο εφαρμογής της. Έτσι λοιπόν προκύπτει ότι η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος, διότι η δράση της εξαρτάται τόσο από το μέγεθός της, όσο και από την κατεύθυνσή της.^[1]

Οι δυνάμεις διακρίνονται κυρίως σε δυνάμεις εξ επαφής (όπως π.χ. ρυμούλκηση πλοίου) και σε δυνάμεις εξ επιδράσεως/αποστάσεως (γνωστότερη τέτοια δύναμη είναι αυτή με την οποία η Γη έλκει τα διάφορα σώματα, το βάρος).
Γενικότερα όμως υπάρχει μεγάλο πλήθος δυνάμεων στη φύση: η βαρύτητα, οι ηλεκτρικές και οι μαγνητικές δυνάμεις, η τριβή, η τάση είναι μόνο μερικές από αυτές. Όμως, μόνο τέσσερις δυνάμεις θεωρούνται σήμερα θεμελιώδεις:

Όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις δεν θεωρούνται θεμελιώδεις και μπορούν να οριστούν και να αναχθούν στις παραπάνω τέσσερις δυνάμεις.

Ροπή

Μία δύναμη εκτός από την «ικανότητά» της να μπορεί να μετακινήσει το σώμα ως προς την κατεύθυνση της δράσης της μπορεί ακόμα και να το περιστρέψει γύρω από έναν άξονα. Ο άξονας αυτός μπορεί να είναι μια οποιαδήποτε ευθεία η οποία όμως δεν μπορεί ούτε να τέμνει την γραμμή δράσης της δύναμης αλλά ούτε μπορεί να είναι παράλληλη σε αυτή. Αυτή η τάση που έχει μία δύναμη $\mathbf {F}$ να περιστρέψει το σώμα στο οποίο ασκείται είναι γνωστή ως ροπής της δύναμης $\mathbf {F}$ και συμβολίζεται ως $\mathbf {\tau }$ , από την αγγλική λέξη torque, ή $\mathbf {M}$ από την αγγλική λέξη moment.

Ροπή ως προς ένα σημείο

Περιστροφικός κανόνας του δεξιού χεριού

Το μέτρο της ροπής μιας δύναμης : ${\vec {F}}$ ως προς ένα σημείο Ο ισούται με την κάθετη απόσταση $d$ της γραμμής δράσης της δύναμης: ${\vec {F}}$ στο άξονα του Ο πολλαπλασιασμένη κατά το μέτρο της δύναμης. Δηλαδή: $M=F\cdot d$ , όπου

$F:$ μέτρο της ασκούμενης δύναμης
$d$ = Η κάθετη απόσταση της γραμμής δράσης της: ${\vec {F}}$ από τον άξονα. Αυτή η κάθετη απόσταση ονομάζεται μοχλοβραχίονας.

Η κατεύθυνση της ροπής δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπου η αντίστροφη κίνηση του χεριού από τη φορά των δεικτών του ρολογιού δείχνει ότι η κατεύθυνση είναι προς τα έξω από τη σελίδα, ενώ η σύμφωνη κίνηση του χεριού με τους δείκτες του ρολογιού μας δείχνει ότι η κατεύθυνση είναι προς τα μέσα. Η κατεύθυνση της ροπής μπορεί να είναι θετική ή αρνητική, αναλόγως του πως έχουμε θεωρήσει τα θετικά και τα αρνητικά από την αρχή της μελέτης. Είναι δυνατών να θέσουμε ως (+) την αντίστροφη φορά από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και (-) τη σύμφωνη, αλλά μπορεί να γίνει και το ανάποδο. Οι ροπές μπορούν να προστεθούν ως διανύσματα/φορείς.

Σε μορφή φορέα/διανύσματος, η ροπή μπορεί να οριστεί ως το εξώτερικο γινόμενο μεταξύ του φορέα ακτίνα, ${\vec {r}}$ (το διάνυσμα με αρχή το σημείο Ο μέχρι την γραμμή δράσης της δύναμης), και το διάνυσμα της δύναμης(η ίδια η δύναμη δηλαδή), ${\vec {F}}$ :^[2]

{\vec {M_{O}}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

Εξισώσεις ισορροπίας

Ισορροπία υλικού σημείου

Η στατική ισορροπία ενός σωματιδίου είναι μια πολύ σημαντική κατάσταση στη Στατική.

Ένα υλικό σημείο ισορροπεί εφόσον η συνισταμένη των ασκουμένων σε αυτό δυνάμεων είναι ίση με μηδέν. Ισχύει και το αντίστροφο. Η γεωμετρική προσέγγιση του φαινομένου βασίζεται στη θεωρία της σύνθεσης δυνάμεων και ειδικά στον νόμο του παραλληλογράμμου. Η αναλυτική προσέγγιση βασίζεται επιπλέον στο θεώρημα του Τσέισλς: Το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών ενός συνόλου διανυσμάτων σε οποιονδήποτε άξονα του επιπέδου είναι ίσο με την προβολή της συνισταμένης. Έτσι το φαινόμενο «ισορροπία ενός υλικού σημείου» περιγράφεται ως:

$\sum {\mathbf {F} }=0\Rightarrow \sum {F}_{x}=\sum {F}_{y}=\sum {F}_{z}=0$

Αυτό σημαίνει ότι «εφόσον το αντικείμενο ισορροπεί, ισχύουν τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις» και ότι «εφόσον ισχύουν οι τρεις αυτές εξισώσεις το αντικείμενο ισορροπεί».

Αν οι δυνάμεις βρίσκονται όλες στο ίδιο επίπεδο, τότε αρκούν οι δύο από τις τρεις εξισώσεις και αν όλες οι δυνάμεις βρίσκονται σε μία ευθεία, τότε αρκεί η μία από αυτές.

Ισορροπία στερεού σώματος

Για τη μελέτη του φαινομένου της ισορροπίας στερεού σώματος χρησιμοποιείται εκτός από την έννοια δύναμη και η έννοια ροπή δύναμης.

Η αναλυτική προσέγγιση βασίζεται στη αντίστοιχη της ισορροπίας υλικού σημείου και επιπλέον στο θεώρημα του Varignon: Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ενός συνόλου δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου είναι ίσο με τη ροπή της συνισταμένης.

Έτσι, το φαινόμενο της ισορροπίας στερεού σώματος ερμηνεύεται και προβλέπεται με τις εξισώσεις

$\sum {\mathbf {F} }=0\,,\sum {\mathbf {N} }=0$

Αυτό σημαίνει ότι εφόσον το στερεό σώμα ισορροπεί, ισχύουν οι παραπάνω ανεξάρτητες εξισώσεις και ότι εφόσον ισχύουν οι αυτές εξισώσεις το σώμα ισορροπεί.

Το Θεώρημα Βαρινιόν

Το θεώρημα του Γάλλου μαθηματικού Πιέρ Βαρινιόν μας λέει ότι:

Η ροπή ως προς ένα δεδομένο σημείο της συνισταμένης αρκετών συν τρεχουσών δυνάμεων ισούται με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών της δύναμης ως προς το ίδιο σημείο.

Ροπή αδράνειας

Αναλυτική περιγραφή αυτού του πολύ σπουδαίου μεγέθους της Μηχανικής δίνεται στο άρθρο: Ροπή Αδράνειας.

Στερεά

Η Στατική χρησιμοποιείται στην ανάλυση δομικών, για παράδειγμα στην Αρχιτεκτονική Μηχανική. Η Αντοχή των υλικών είναι ένα επιστημονικό πεδίο, αρκετά συνδεδεμένο με τη Μηχανική, που στηρίζεται σε πολύ μεγάλο βαθμό στην εφαρμογή της στατικής ισορροπίας. Μια βασική έννοια είναι αυτή του κέντρου μάζας ενός σώματος σε «ηρεμία». Αυτό αναπαριστά ένα σημείο στο οποίο συγκεντρώνεται όλη η μάζα του σώματος.

Η θέση στην οποία βρίσκεται αυτό το σημείο σε συνδυασμό με το υλικό κατασκευής του στερεού αλλά και τα θεμέλια στα οποία στηρίζεται το στερεό καθορίζουν την σταθερότητα του ως προς τις εξωτερικές δυνάμεις. Αν το κέντρο μάζας του στερεού βρίσκεται έξω από τα θεμέλια, τότε εύκολα καταλαβαίνουμε πως είναι αρκετά ασταθές καθώς υπάρχει μια ροπή που δρα: ακόμα και μια μικρή διατάραξη της «ηρεμίας» του σώματος μπορεί να προκαλέσει την πτώση, να το ανατρέψει ή γενικά να αλλάξει την κατάστασή του. Εάν πάλι το κέντρο βάρους βρίσκεται μέσα στα όρια των θεμελίων τότε λέμε πως το στερεό είναι σταθερό μιας και δεν υπάρχει καμία συνισταμένη ροπή που να δρα πάνω στο σώμα.

Υγρά

Η Υδροστατική είναι η μελέτη των υγρών σε κατάσταση ηρεμίας(δηλαδή. σε στατική ισορροπία). Τα χαρακτηριστικά οποιουδήποτε υγρού σε κατάσταση ηρεμίας είναι ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο του ρευστού είναι η ίδια σε όλα τα σημεία στο ίδιο βάθος (ή ύψος) μέσα στο ρευστό. Εάν η συνισταμένη δύναμη είναι μεγαλύτερη από το μηδέν τότε το υγρό θα κινηθεί προς την κατεύθυνση της προκύπτουσας δύναμης. Η έννοια αυτή διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό και φιλόσοφο Μπλεζ Πασκάλ το 1647 και έγινε γνωστή ως η Αρχή του Πασκάλ. Η υδροστατική χρησιμοποιείται έντονα στην Υδραυλική. Ο Αρχιμήδης, ο Αμπού Ραϊχάν Αλ-Μπιρουνί, ο αλ-Χαζινί^[3] και ο Γαλιλαίος Γαλιλέι έπαιξαν πολύ σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της υδροστατικής.

Δείτε επίσης

Επιπλέον ανάγνωση

↑ Meriam, James L., and L. Glenn Kraige. Engineering Mechanics (6th ed.) Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 2007, σελ. 23
↑ Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics: Statics (12η έκδοση). New Jersey: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-607790-0.
↑ Mariam Rozhanskaya and I. S. Levinova (1996): Statics, σελ. 642, in (Morelon & Rashed 1996, σελίδες 614–642):
"Using a whole body of mathematical methods (not only those inherited from the antique theory of ratios and infinitesimal techniques, but also the methods of the contemporary algebra and fine calculation techniques), Arabic scientists raised statics to a new, higher level. The classical results of Archimedes in the theory of the centre of gravity were generalized and applied to three-dimensional bodies, the theory of ponderable lever was founded and the 'science of gravity' was created and later further developed in medieval Europe. The phenomena of statics were studied by using the dynamic approach so that two trends - statics and dynamics - turned out to be inter-related within a single science, mechanics. The combination of the dynamic approach with Archimedean hydrostatics gave birth to a direction in science which may be called medieval hydrodynamics. [...] Numerous experimental methods were developed for determining the specific weight, which were based, in particular, on the theory of balances and weighing. The classical works of al-Biruni and al-Khazini may be considered the beginning of the application of experimental methods in medieval science."

Beer, F.P.· Johnston Jr, E.R. (1992). Statics and Mechanics of Materials. McGraw-Hill, Inc.
Beer, F. P.· Johnston Jr, E.R.· Mazurek,David (2009). Vector Mechanics for Engineers: Statics (9η έκδοση). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-352923-3.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
Στατική

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:
στατική

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Horbatsch, Marko, "Classical Mechanics Course Notes".
Rosu, Haret C., "Classical Mechanics". Physics Education. 1999. [arxiv.org : physics/9909035]
Shapiro, Joel A. (2003). Classical Mechanics
Sussman, Gerald Jay & Wisdom, Jack & Mayer,Meinhard E. (2001). Structure and Interpretation of Classical Mechanics

[1] Meriam, James L., and L. Glenn Kraige. Engineering Mechanics (6th ed.) Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 2007, σελ. 23

[2] Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics: Statics (12η έκδοση). New Jersey: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-607790-0.

[Rozhanskaya-642-3] Mariam Rozhanskaya and I. S. Levinova (1996): Statics, σελ. 642, in (Morelon & Rashed 1996, σελίδες 614–642):
"Using a whole body of mathematical methods (not only those inherited from the antique theory of ratios and infinitesimal techniques, but also the methods of the contemporary algebra and fine calculation techniques), Arabic scientists raised statics to a new, higher level. The classical results of Archimedes in the theory of the centre of gravity were generalized and applied to three-dimensional bodies, the theory of ponderable lever was founded and the 'science of gravity' was created and later further developed in medieval Europe. The phenomena of statics were studied by using the dynamic approach so that two trends - statics and dynamics - turned out to be inter-related within a single science, mechanics. The combination of the dynamic approach with Archimedean hydrostatics gave birth to a direction in science which may be called medieval hydrodynamics. [...] Numerous experimental methods were developed for determining the specific weight, which were based, in particular, on the theory of balances and weighing. The classical works of al-Biruni and al-Khazini may be considered the beginning of the application of experimental methods in medieval science."

[1]

[2]

[3]