Πίνακας από μονάδες
πίνακας όπου κάθε στοιχείο είναι ίσο με την μονάδα
Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας από μονάδες είναι ο πίνακας που όλα του τα στοιχεία είναι μονάδες .[1] Για παράδειγμα, οι παρακάτω πίνακες είναι πίνακες από μονάδες διαφορετικών διαστάσεων,
Για την ειδική περίπτωση που ο πίνακας έχει την μορφή διανύσματος γραμμής ή στήλης, λέγεται διάνυσμα από μονάδες. Για παράδειγμα,
Ιδιότητες
ΕπεξεργασίαΓια τον τετραγωνικό πίνακα από μονάδες ισχύει ότι:
- Είναι συμμετρικός.
- Το ίχνος του ικανοποιεί .
- Η ορίζουσα του ικανοποιεί
- Η τάξη του είναι .
- Ο έχει ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή . Από το θεώρημα rank-nullity προκύπτει ότι η ιδιοτιμή έχει πολλαπλότητα .
- Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι .
- Ο πίνακας είναι ταυτοδύναμος, καθώς για κάθε διάνυσμα ισχύει ότι .
- Για κάθε φυσικό αριθμό , οι δυνάμεις του πίνακα δίνονται από .
- Από την σχέση προκύπτει ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι .
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Χριστόπουλος, Δημήτριος. «Γραμμική άλγεβρα με το MATLAB» (PDF). Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο. Ανακτήθηκε στις 16 Ιουλίου 2023.