Απόλυτη σύγκλιση

Στα μαθηματικά, μια άπειρη σειρά αριθμών λέμε ότι συγκλίνει απολύτως (ή ότι είναι απολύτως συγκλίνουσα) αν το άθροισμα των απολύτων τιμών των προσθετέων είναι πεπερασμένο. Πιο συγκεκριμένα, μια πραγματική ή μιγαδική σειρά $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ λέμε ότι συγκλίνει απολύτως αν $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$ για κάποιον πραγματικό αριθμό $\textstyle L.$ Ομοίως, ένα μη γνήσιο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης, $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,$ λέμε ότι συγκλίνει απολύτως αν το ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής της συνάρτησης είναι πεπερασμένο, δηλαδή αν $\textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.$ Μια συγκλίνουσα σειρά που δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα ονομάζεται υπό συνθήκη συγκλίνουσα.

Η απόλυτη σύγκλιση είναι σημαντική για τη μελέτη των άπειρων σειρών, επειδή ο ορισμός της εγγυάται ότι μια σειρά θα έχει κάποιες "καλές" ιδιότητες για πεπερασμένα αθροίσματα που δεν τις έχουν όλες οι συγκλίνουσες σειρές. Για παράδειγμα, οι αναδιατάξεις δεν αλλάζουν την τιμή του αθροίσματος, κάτι που δεν ισχύει απαραίτητα για τις υπό συνθήκη συγκλίνουσες σειρές.

Υπόβαθρο

Όταν προσθέτουμε έναν πεπερασμένο αριθμό όρων, η πρόσθεση είναι προσεταιριστική και αντιμεταθετική, που σημαίνει ότι η ομαδοποίηση και η αναδιάταξη δεν αλλάζουν το τελικό άθροισμα. Για παράδειγμα, το $(1+2)+3$ είναι το ίδιο με το $1+(2+3)$ και το $(3+2)+1$. Ωστόσο, η προσεταιριστικότητα και η αντιμεταθετικότητα δεν ισχύουν απαραίτητα για άπειρα αθροίσματα. Ένα παράδειγμα είναι η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά

$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots$

των οποίων οι όροι είναι κλάσματα που εναλλάσσονται στο πρόσημο. Αυτή η σειρά είναι συγκλίνουσα και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη σειρά Μακλόριν για τη συνάρτηση $\ln(1+x)$, που συγκλίνει για κάθε $x$, με $-1<x\leq 1$:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

Αντικαθιστώντας $x=1$ βλέπουμε ότι το αρχικό άθροισμα ισούται με $\ln 2$. Το άθροισμα μπορεί επίσης να αναδιαταχθεί ως εξής:

$S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots$

Σε αυτή την αναδιάταξη, ο αντίστροφος κάθε περιττού αριθμού ομαδοποιείται με τον αντίστροφο της διπλάσιας τιμής του, ενώ οι αντίστροφοι των πολλαπλασίων του 4 υπολογίζονται ξεχωριστά. Ωστόσο, ο υπολογισμός των όρων μέσα στις παρενθέσεις δίνει

$S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots$

η οποία είναι η μισή αρχική σειρά. Η παραβίαση της προσεταιριστικότητας και της αντιμεταθετικότητας της πρόσθεσης μάς δείχνει ότι η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσα. Πράγματι, το άθροισμα των απολύτων τιμών κάθε όρου είναι ${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$, η οποία είναι η αρμονική σειρά που είναι αποκλίνουσα. Σύμφωνα με το θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν, κάθε υπό συνθήκη συγκλίνουσα σειρά μπορεί να αναδιαταχτεί με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμά της να είναι οποιοσδήποτε πεπερασμένος πραγματικός αριθμός ή να αποκλίνει. Όταν μια απολύτως συγκλίνουσα σειρά αναδιατάσσεται, το άθροισμά της διατηρείται πάντα.

Ορισμός σειράς πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών

Μια σειρά πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ είναι απολύτως συγκλίνουσα αν το άθροισμα των απολύτων τιμών των όρων της σειράς ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ συγκλίνει.

Αθροίσματα γενικότερων στοιχείων

Ο ίδιος ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για σειρές ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ των οποίων οι όροι $a_{n}$ δεν είναι αριθμοί αλλά στοιχεία μιας αυθαίρετης τοπολογικής αβελιανής ομάδας. Σε αυτήν την περίπτωση, αντί να χρησιμοποιηθεί η απόλυτη τιμή, ο ορισμός απαιτεί από την ομάδα να έχει μια νόρμα, η οποία είναι μια θετική πραγματική συνάρτηση ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ πάνω σε μια αβελιανή ομάδα $G$ έτσι ώστε:

1. Η νόρμα του ουδέτερου στοιχείου του $G$ να είναι μηδέν: $\|0\|=0.$
2. Για κάθε $x\in G,$ αν $\|x\|=0$ τότε $x=0.$
3. Για κάθε $x\in G,$$\|-x\|=\|x\|.$
4. Για κάθε $x,y\in G,$$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση $d(x,y)=\|x-y\|$ αποτελεί τη δομή ενός μετρικού χώρου (ένα είδος τοπολογίας) πάνω στο $G.$

Τότε, μια $G$-σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα αν ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

Ειδικότερα, αυτές οι ιδιότητες ισχύουν χρησιμοποιώντας την νόρμα $|x|$ (απόλυτη τιμή) στο διάστημα των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών.

Σχέση με τη σύγκλιση

Αν $G$ είναι ένας πλήρης μετρικός χώρος ως προς τη μετρική $d,$ τότε κάθε απολύτως συγκλίνουσα σειρά είναι συγκλίνουσα. Η απόδειξη είναι η ίδια όπως και για τις σειρές με μιγαδικές τιμές: χρησιμοποιούμε την πληρότητα για να κατασκευάσουμε το κριτήριο Κωσύ για τη σύγκλιση - μια σειρά είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν τα "άκρα" της μπορούν να γίνουν αυθαίρετα μικρά σε μια νόρμα - και εφαρμόζουμε την τριγωνική ανισότητα.

Ειδικότερα, για σειρές με τιμές σε οποιονδήποτε χώρο Μπάναχ, η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση. Το αντίστροφο ισχύει επίσης: αν η απόλυτη σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση σε έναν νορμικό χώρο, τότε ο χώρος αυτός είναι ένας χώρος Μπάναχ.

Αν μια σειρά είναι συγκλίνουσα αλλά όχι απολύτως συγκλίνουσα, ονομάζεται υπό συνθήκη συγκλίνουσα. Ένα παράδειγμα μιας υπό συνθήκης συγκλίνουσας σειράς είναι η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά. Πολλά κριτήρια για την απόκλιση και την σύγκλιση, όπως το κριτήριο λόγου και το κριτήριο ρίζας, επιδεικνύουν και την απόλυτη σύγκλιση. Αυτό συμβαίνει επειδή μια δυναμοσειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα στο εσωτερικό του δίσκου σύγκλισής της.

Απόδειξη ότι κάθε απολύτως συγκλίνουσα σειρά μιγαδικών αριθμών είναι συγκλίνουσα

Ας υποθέσουμε ότι η σειρά ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ είναι συγκλίνουσα. Τότε, ισοδύναμα, η σειρά${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ είναι συγκλίνουσα, πράγμα που σημαίνει ότι οι σειρές ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ και ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$ συγκλίνουν από τη σύγκριση των μη αρνητικών όρων. Αρκεί να δείξουμε ότι η σύγκλιση αυτών των σειρών συνεπάγεται τη σύγκλιση των σειρών ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ και ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ οπότε τότε η σύγκλιση της σειράς ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$ θα ακολουθούσε από τον ορισμό της σύγκλισης σειρών με μιγαδικές τιμές.

Οπότε, το μόνο που χρειάζεται να αποδείξουμε είναι ότι η σύγκλιση της ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ συνεπάγεται τη σύγκλιση της ${\textstyle \sum a_{k}.}$

Έστω ότι η σειρά ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ είναι συγκλίνουσα. Αφού $0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,$ έχουμε:$$0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.$$Αφού η σειρά ${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$ συγκλίνει, η ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ είναι μια φραγμένη μονότονη ακολουθία μερικών αθροισμάτων και η σειρά ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ πρέπει επίσης να συγκλίνει. Παρατηρώντας ότι η σειρά ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$ είναι η διαφορά δύο συγκλινουσών σειρών, συμπεραίνουμε ότι και αυτή είναι συγκλίνουσα σειρά, το οποίο είναι αυτό που θέλαμε να δείξουμε.

Εναλλακτική απόδειξη με χρήση του κριτηρίου Κωσύ και της τριγωνικής ανισότητας

Εφαρμόζοντας το κριτήριο Κωσύ για τη σύγκλιση μιας μιγαδικής σειράς, μπορούμε επίσης να αποδείξουμε αυτό το γεγονός ως απλή συνεπαγωγή της τριγωνικής ανισότητας. Με το κριτήριο Κωσύ, η σειρά ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ συγκλίνει αν και μόνο αν για κάθε $\varepsilon >0,$ υπάρχει $N$ τέτοιο ώστε ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ για κάθε $n>m\geq N.$ Αλλά σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα, έχουμε ότι ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ οπότε ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$ για κάθε $n>m\geq N,$ που είναι ακριβώς το κριτήριο Κωσύ για την σειρά ${\textstyle \sum a_{i}.}$

Απόδειξη ότι κάθε απολύτως συγκλίνουσα σειρά σε έναν χώρο Μπάναχ είναι συγκλίνουσα

Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί εύκολα να γενικευτεί σε κάθε χώρο Μπάναχ $(X,\|\,\cdot \,\|).$ Έστω ${\textstyle \sum x_{n}}$ μια απολύτως συγκλίνουσα σειρά στο $X.$ Αφού η σειρά ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ είναι μια ακολουθία Κωσύ πραγματικών αριθμών, για κάθε $\varepsilon >0$ και αρκετά μεγάλους φυσικούς αριθμούς $m,n$, με $m>n$, ισχύει ότι:$$\left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .$$

Από την τριγωνική ανισότητα για την νόρμα ǁ⋅ǁ, έχουμε: $$\left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,$$που σημαίνει ότι η σειρά ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ είναι μια ακολουθία Κωσύ στο $X,$ επομένως η σειρά συγκλίνει στο $X.$

Αναδιατάξεις

Πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί

Όταν μια σειρά πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών είναι απολύτως συγκλίνουσα, οποιαδήποτε αναδιάταξη των όρων της θα εξακολουθεί να συγκλίνει στην ίδια τιμή. Αυτό το γεγονός είναι ένας λόγος για τον οποίο οι απολύτως συγκλίνουσες σειρές είναι χρήσιμες: δείχνοντας ότι μια σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα μάς επιτρέπει να αναδιατάξουμε τους όρους με βολικούς τρόπους, χωρίς να αλλάξουμε την τιμή του αθροίσματος.

Το θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν δείχνει ότι ισχύει και το αντίστροφο: κάθε σειρά πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών της οποίας οι όροι δεν μπορούν να αναδιαταχθούν για να δώσουν μια διαφορετική τιμή είναι απολύτως συγκλίνουσα.

Γινόμενο Κωσύ

Το γινόμενο Κωσύ δύο σειρών συγκλίνει στο γινόμενο των αθροισμάτων αν τουλάχιστον μία από τις σειρές συγκλίνει απολύτως. Δηλαδή, ας υποθέσουμε ότι $$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ και }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.$$

Το γινόμενο Κωσύ ορίζεται ως το άθροισμα των όρων $c_{n}$, όπου: $$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$$

Αν είτε το $a_{n}$ ή το $b_{n}$ άθροισμα συγκλίνει απολύτως, τότε $$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.$$

Απόλυτη σύγκλιση σε σύνολα

Μια γενίκευση της απόλυτης σύγκλισης μιας σειράς είναι η απόλυτη σύγκλιση ενός αθροίσματος μιας συνάρτησης σε ένα σύνολο. Μπορούμε πρώτα να εξετάσουμε ένα μετρήσιμο σύνολο $X$ και μια συνάρτηση $f:X\to \mathbb {R} .$ Θα δώσουμε παρακάτω έναν ορισμό για το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X,$ το οποίο θα συμβολίζουμε με ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$.

Πρώτον, παρατηρήστε ότι επειδή δεν υπάρχει κάποια συγκεκριμένη απαρίθμηση του $X$ που να έχει καθοριστεί ακόμα, η σειρά ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ δεν μπορεί να γίνει κατανοητή από τον βασικό ορισμό της σειράς. Στην πραγματικότητα, για ορισμένα παραδείγματα των $X$ και $f,$ το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$ μπορεί να μην ορίζεται καθόλου, καθώς κάποια απαρίθμηση μπορεί να δημιουργήσει μια υπό συνθήκη συγκλίνουσα σειρά.

Επομένως, ορίζουμε την σειρά ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ μόνο στην περίπτωση που υπάρχει κάποια ένα προς ένα και επί συνάρτηση $g:\mathbb {Z} ^{+}\to X$ τέτοια ώστε η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ να είναι απολύτως συγκλίνουσα. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$ ορίζεται ως $$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))$$

Παρατηρήστε ότι επειδή η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα, κάθε αναδιάταξη είναι πανομοιότυπη απλά με μια διαφορετική επιλογή της $g.$ Εφόσον όλα αυτά τα αθροίσματα έχουν την ίδια τιμή, τότε το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$ είναι καλά ορισμένο.

Ακόμη πιο γενικά μπορούμε να ορίσουμε το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$, όταν το $X$ είναι μη μετρήσιμο (υπεραριθμήσιμο). Αλλά πρώτα πρέπει να ορίσουμε το τι σημαίνει ότι το άθροισμα συγκλίνει.

Έστω $X$ ένα οποιοδήποτε σύνολο, μετρήσιμο ή μη, και $f:X\to \mathbb {R}$ μια συνάρτηση. Λέμε ότι το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$ συγκλίνει απολύτως αν $$\sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .$$

Υπάρχει ένα θεώρημα που λέει ότι, αν το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$ συγκλίνει απολύτως, τότε η $f$ παίρνει μη μηδενικές τιμές σε ένα σύνολο που είναι το πολύ μετρήσιμο (αριθμήσιμο). Επομένως, ο ακόλουθος ορισμός είναι ένας "καλός" τρόπος για να ορίσουμε το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$ όταν συγκλίνει απολύτως:$$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).$$

Παρατηρήστε ότι η τελική σειρά χρησιμοποιεί τον ορισμό της σειράς πάνω σε ένα μετρήσιμο σύνολο.

Μερικοί συγγραφείς ορίζουν το επαναλαμβανόμενο άθροισμα ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ να συγκλίνει απολύτως αν η επαναλαμβανόμενη σειρά ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$ Αυτό είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμο με την απόλυτη σύγκλιση της σειράς ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$. Δηλαδή, αν το άθροισμα της $f$ πάνω από το $X$, ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$, συγκλίνει απολύτως, όπως ορίζεται παραπάνω, τότε το επαναλαμβανόμενο άθροισμα ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ συγκλίνει απολύτως και το αντίστροφο.

Απόλυτη σύγκλιση ολοκληρωμάτων

Το ολοκλήρωμα ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ μιας πραγματικής ή μιγαδικής συνάρτησης λέμε ότι συγκλίνει απολύτως αν ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ Λέμε επίσης ότι η $f$ είναι απολύτως ολοκληρώσιμη. Το ζήτημα της απόλυτης ολοκλήρωσης είναι περίπλοκο και εξαρτάται από το αν λαμβάνεται υπόψη το ολοκλήρωμα Ρίμαν ή Λεμπέγκ. Για το ολοκλήρωμα Ρίμαν, εξαρτάται επίσης το αν εξετάζουμε την ολοκλήρωση μόνο γνήσιων ολοκληρωμάτων (τα $f$ και $A$ είναι φραγμένα), ή αν επιτρέπουμε και την γενικότερη περίπτωση των μη γνήσιων ολοκληρωμάτων.

Ως τυπική ιδιότητα του ολοκληρώματος Ρίμαν, όταν το $A=[a,b]$ είναι ένα φραγμένο διάστημα, κάθε συνεχής συνάρτηση είναι φραγμένη και (Ρίμαν) ολοκληρώσιμη και εφόσον όταν η $f$ είναι συνεχής συνεπάγεται ότι και η $|f|$ είναι συνεχής, κάθε συνεχής συνάρτηση είναι απολύτως ολοκληρώσιμη. Μάλιστα, αφού η σύνθεση $g\circ f$ είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη στο $[a,b]$, αν η $f$ είναι ολοκληρώσιμη και η $g$ είναι συνεχής, προκύπτει ότι η $|f|=|\cdot |\circ f$ είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη αν η $f$ είναι. Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει στην περίπτωση των μη γνήσιων ολοκληρωμάτων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$ είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη στο μη φραγμένο πεδίο ορισμού της, αλλά δεν είναι απολύτως ολοκληρώσιμη: $$\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ αλλά }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .$$Πράγματι, γενικότερα, αν έχουμε μια σειρά της μορφής ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ μπορούμε να εξετάσουμε τη βηματική συνάρτηση $f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ που ορίζεται ως $f_{a}([n,n+1))=a_{n}.$ Τότε, το ολοκλήρωμα ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ συγκλίνει απολύτως, συγκλίνει υπό συνθήκη ή αποκλίνει σύμφωνα με την αντίστοιχη συμπεριφορά της σειράς ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Η κατάσταση είναι διαφορετική για το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ, το οποίο δεν χειρίζεται ξεχωριστά φραγμένα και μη φραγμένα πεδία ορισμού ολοκλήρωσης (βλέπε παρακάτω). Το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα της $|f|$ είναι μη φραγμένο στα παραπάνω παραδείγματα σημαίνει ότι η $f$ δεν είναι ολοκληρώσιμη κατά Λεμπέγκ. Μάλιστα, στη θεωρία ολοκλήρωσης Λεμπέγκ, δεδομένου ότι η $f$ είναι μετρήσιμη, η $f$ είναι (Λεμπέγκ) ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν η $|f|$ είναι (Λεμπέγκ) ολοκληρώσιμη. Ωστόσο, η υπόθεση ότι η $f$ είναι μετρήσιμη είναι απαραίτητη. Δεν είναι γενικά αλήθεια ότι οι απολύτως ολοκληρώσιμες συναρτήσεις σε ένα διάστημα $[a,b]$ είναι ολοκληρώσιμες. Πράγματι, έστω $S\subset [a,b]$ ένα μη μετρήσιμο υποσύνολο και έστω $f=\chi _{S}-1/2,$ όπου $\chi _{S}$ είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του $S.$ Τότε, η $f$ δεν είναι Λεμπέγκ μετρήσιμη και επομένως δεν είναι ολοκληρώσιμη, αλλά η $|f|\equiv 1/2$ είναι μια σταθερή συνάρτηση και επομένως είναι ολοκληρώσιμη.

Γενικότερα, σε οποιονδήποτε μετρήσιμο χώρο $A,$ το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ μιας πραγματικής συνάρτησης ορίζεται ως προς τα θετικά και αρνητικά μέρη της, επομένως οι ιδιότητες:

1. Αν $f$ ολοκληρώσιμη, τότε $|f|$ ολοκληρώσιμη
2. Αν $f$ μετρήσιμη και $|f|$ ολοκληρώσιμη, τότε $f$ ολοκληρώσιμη

ενσωματώνονται ουσιαστικά στον ορισμό του ολοκληρώματος Λεμπέγκ.

Τέλος, όλα τα παραπάνω ισχύουν για ολοκληρώματα με τιμές σε χώρο Μπάναχ. Ο ορισμός ενός ολοκληρώματος Ρίμαν με τιμή σε χώρο Μπάναχ είναι μια τροποποίηση του συνηθισμένου ορισμού. Για το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ χρειάζεται να παρακάμψουμε την αποσύνθεση σε θετικά και αρνητικά μέρη χρησιμοποιώντας συναρτησιακή ανάλυση.

Δείτε επίσης

• Σύγκλιση υπό συνθήκη
• Θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν
• Κριτήρια σύγκλισης

Αναφορές

Γενικές αναφορές

• Walter Rudin, Αρχές Μαθηματικής Ανάλυσης (McGraw-Hill: Νέα Υόρκη, 1964).
• Robertson, A. P. (1973). Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. Cambridge Αγγλίας: University Press. ISBN 0-521-29882-2.