Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Στα μαθηματικά, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (με κατάλληλα περιορισμένα πεδία ορισμού). Συγκεκριμένα, είναι οι αντίστροφες των ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης, συνεφαπτομένης, τέμνουσας και συντέμνουσας συναρτήσεων. Χρησιμοποιούνται για να υπολογιστεί μια γωνία από οποιαδήποτε τριγωνομετρική αναλογία της γωνίας αυτής. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στην εφαρμοσμένη μηχανική, την πλοήγηση, τη φυσική και τη γεωμετρία.

Σημειογραφία

Υπάρχουν διάφοροι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Η πιο κοινή σύμβαση είναι να αναφέρουμε τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ένα arc- πρόθεμα, π.χ., $\arcsin(x)$ , $\arccos(x)$ , $\arctan(x)$ , κ.λπ. Αυτή η σύμβαση χρησιμοποιείται καθ'όλην την έκταση του άρθρου. Κατά την μέτρηση σε ακτίνια, μια γωνία $\theta$ ακτινίων θα αντιστοιχεί σε ένα τόξο, του οποίου το μήκος είναι $r\theta$ , όπου $r$ είναι η ακτίνα του κύκλου. Έτσι, στον μοναδιαίο κύκλο, "το τόξο του οποίου το συνημίτονο είναι $x$ " είναι το ίδιο με "η γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι $x$ ", επειδή το μήκος του τόξου του κύκλου σε ακτίνες είναι το ίδιο με τη μέτρηση της γωνίας σε ακτίνια.^[1] Ομοίως, σε γλώσσες προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών (καθώς και στο Excel) οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνήθως ονομάζονται $\operatorname {asin}$ , $\operatorname {acos}$ , $\operatorname {atan}$ .

Οι συμβολισμοί $\sin ^{-1}(x)$ , $\cos ^{-1}(x)$ , $\tan ^{-1}(x)$ , κ.λπ., όπως εισήχθη από τον Τζον Χέρσελ, το 1813,^[2]^[3] χρησιμοποιούνται συχνά επίσης, αλλά αυτή η σύμβαση έρχεται λογικά σε σύγκρουση με την κοινή σημασιολογία για εκφράσεις όπως το $\sin ^{2}(x)$ , που αναφέρονται σε αριθμητική δύναμη παρά σε σύνθεση συναρτήσεων, και ως εκ τούτου μπορεί να οδηγήσει σε σύγχυση μεταξύ των αντίστροφο πολλαπλασιασμού και αντίστροφο σύνθεσης. Η σύγχυση έχει κάπως βελτιωθεί από το γεγονός ότι καθεμία από τις αμοιβαίες τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχει το δικό της όνομα — για παράδειγμα, $(cos(x))^{-1}=\sec(x)$ . Παρ' όλα αυτά, ορισμένοι συγγραφείς συμβουλεύουν κατά της χρήσης του λόγω ασάφειας.

Μια άλλη σύμβαση που χρησιμοποιείται από μερικούς συγγραφείς^[4] είναι η χρήση κεφαλαίου πρώτου γράμματος μαζί με εκθέτη $-1$ , π.χ., $\operatorname {Sin} ^{-1}(x)$ , $\operatorname {Cos} ^{-1}(x)$ , $\operatorname {Tan} ^{-1}(x)$ , κ.λπ., η οποία αποφεύγει να τους μπερδεύει με τον αντίστροφο πολλαπλασιασμού, ο οποίος θα πρέπει να συμβολίζεται ως $\sin ^{-1}(x)$ , $\cos ^{-1}(x)$ , κ.λπ.

Βασικές ιδιότητες

Κύριες τιμές

Καθώς καμία από τις έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι ένα-προς-ένα, πρέπει να περιορίσουμε το πεδίο ορισμού τους ώστε να έχουν αντίστροφες συναρτήσεις. Επομένως, τα σύνολα τιμών των αντίστροφων συναρτήσεων είναι γνήσια υποσύνολα των πεδίων ορισμού των αρχικών συναρτήσεων.

Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την συνάρτηση με την έννοια των συναρτήσεων πολλαπλών τιμών, όπως και η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας ${\textstyle y={\sqrt {x}}}$ θα μπορούσε να ορίζεται από την $y^{2}=x$ , η συνάρτηση $y=\arcsin(x)$ ορίζεται έτσι ώστε $\sin(y)=x$ . Υπάρχουν πολλαπλοί αριθμοί $y$ τέτοιοι ώστε $\sin(y)=x$ για παράδειγμα, $\sin(0)=0$ , αλλά και $sin(\pi )=0$ , $\sin(2\pi )=0$ , κ.λπ. Όταν μόνο μια τιμή ζητείται, η συνάρτηση μπορεί να περιοριστεί στον κύριο κλάδο της. Με αυτόν τον περιορισμό, για κάθε $x$ στο πεδίο ορισμού η παράσταση $\arcsin(x)$ θα αξιολογεί μόνο σε μοναδική τιμή, η οποία ονομάζεται η κύρια τιμή της. Αυτές οι ιδιότητες εφαρμόζονται σε όλες τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Οι κύριες αντίστροφες παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα.

Ονομασία	Συνήθης συμβολισμός	Ορισμός	Πεδίο ορισμού του x για πραγματικό αποτέλεσμα	Σύνολο τιμών των συνήθων κύριων τιμών (σε ακτίνια)	Σύνολο τιμών των συνήθων κύριων τιμών (σε μοίρες)
arcsine	y = $arcsin(x)$	x = $sin (y)$	−1 ≤ x ≤ 1	− $π$ /2 ≤ y ≤ $π$ /2	−90° ≤ y ≤ 90°
arccosine	y = $arccos(x)$	x = $cos (y)$	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ $π$	0° ≤ y ≤ 180°
arctangent	y = $arctan(x)$	x = $tan (y)$	όλοι οι πραγματικοί αριθμοί	− $π$ /2 < y < $π$ /2	−90° < y < 90°
arccotangent	y = $arccot(x)$	x = $cot (y)$	όλοι οι πραγματικοί αριθμοί	0 < y < $π$	0° < y < 180°
arcsecant	y = $arcsec(x)$	x = $sec (y)$	x ≤ −1 ή 1 ≤ x	0 ≤ y < $π$ /2 ή $π$ /2 < y ≤ $π$	0° ≤ y < 90° ή 90° < y ≤ 180°
arccosecant	y = $arccsc(x)$	x = $csc (y)$	x ≤ −1 ή 1 ≤ x	− $π$ /2 ≤ y < 0 ή 0 < y ≤ $π$ /2	−90° ≤ y < 0° ή 0° < y ≤ 90°

Σημείωση: Μερικοί συγγραφείς ορίζουν το σύνολο τιμών του arcsecant να είναι ( $0\leq y\leq \pi /2$ ή $\pi \leq y\leq 3\pi /2$ ), επειδή η συνάρτηση εφαπτομένης είναι μη αρνητική σε αυτό το πεδίο ορισμού. Αυτό κάνει κάποιους υπολογισμούς πιο συνεπείς. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας αυτό το πεδίο ορισμού, ${\textstyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}}$ , ενώ με το πεδίο ορισμού ( $0\leq y\leq \pi /2$ ή $\pi /2\leq y\leq \pi$ ), θα έπρεπε να γράψουμε $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$ , καθώς η εφαπτομένη είναι μη αρνητική για $0\leq y<\pi /2$ , αλλά μη θετική για $\pi /2<y\leq \pi$ . Για παρόμοιο λόγο, οι ίδιοι συγγραφείς ορίζουν το πεδίο ορισμού του arccosecant να είναι ( $-\pi /2<y\leq \pi /2$ ή $0<y\leq \pi /2$ ).

Αν το x επιτρέπεται να είναι μιγαδικός αριθμός, τότε το σύνολο τιμών του y ισχύει μόνο για το πραγματικό μέρος.

Σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα. Ένας γρήγορος τρόπος για να τους εξάγουμε είναι λαμβάνοντας υπόψιν τη γεωμετρία ενός ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου η μία πλευρά είναι μήκους 1, και μια άλλη πλευρά μήκους x (οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μεταξύ 0 και 1), και, στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα και τους ορισμούς των τριγωνομετρικών σχέσεων. Καθαρές αλγεβρικές εξαγωγές είναι μεγαλύτερες.

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$

Σχέσεις μεταξύ των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι συνήθεις κύριες τιμές των συναρτήσεων arcsin(x) (κόκκινη) και arccos(x) (μπλε) σε γράφημα στο καρτεσιανό επίπεδο.

Οι συνήθεις κύριες τιμές των συναρτήσεων arctan(x) και arccot(x) σε γράφημα στο καρτεσιανό επίπεδο.

Οι κύριες τιμές των συναρτήσεων arcsec(x) και arccsc(x) σε γράφημα στο καρτεσιανό επίπεδο.

Συμπληρωματικές γωνίες:

{\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}

Αρνητικά ορίσματα:

{\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}

Αντίστροφα ορίσματα:

{\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ αν }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ αν }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ αν }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ αν }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}

Αν έχετε μόνο ένα κομμάτι ενός πίνακα ημιτόνου:

{\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ αν }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ αν }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ αν }}0\leq x\leq 1\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}

Κάθε φορά που η τετραγωνική ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού χρησιμοποιείται εδώ, επιλέγουμε τη ρίζα με το θετικό πραγματικό μέρος (ή το θετικό φανταστικό μέρος, αν το τετράγωνο ήταν αρνητικός πραγματικός).

Από τον τύπο μισής γωνίας, $\tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ , έχουμε:

{\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ αν }}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}

Τύπος πρόσθεσης του τόξου εφαπτομένης

\arctan(u)+\arctan(v)=\arctan \left({\frac {u+v}{1-uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.

Αυτό προέρχεται από τον τύπο πρόσθεσης της εφαπτομένης

\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan(\alpha )+\tan(\beta )}{1-\tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,

θέτοντας

\alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.

Στον λογισμό

Παράγωγα από τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Τα παράγωγα για μιγαδικές τιμές του z είναι τα εξής:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}

Μόνο για πραγματικές τιμές του x:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}

Για ένα παράδειγμα παραγώγου: αν $\theta =\arcsin x\!$ , έχουμε:

{\frac {\mathrm {d} \arcsin(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} \sin(\theta )}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos(\theta )\mathrm {d} \theta }}={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

Παράσταση ως ορισμένα ολοκληρώματα

Ολοκληρώνοντας την παράγωγο και σταθεροποιώντας την τιμή σε ένα σημείο δίνει μια παράσταση για την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση ως ορισμένο ολοκλήρωμα:

{\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z=\mathrm {\pi } +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}

Όταν το x ισούται με 1, τα ολοκληρώματα με περιορισμένα πεδία ορισμού είναι γενικευμένα ολοκληρώματα, αλλά και πάλι καλά ορισμένα.

Άπειρες σειρές

Όπως οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας δυναμοσειρές, ως εξής. Για το τόξο ημιτόνου, η σειρά μπορεί να παραχθεί από την επέκταση της παραγώγου, ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ ως διωνυμική σειρά, και την παραγώγιση όρου προς όρου (χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό ορισμό ως ανωτέρω). Η σειρά για το τόξο εφαπτομένης μπορεί ομοίως να παραχθεί από την επέκταση της παραγώγου ${\textstyle {\tfrac {1}{1+z^{2}}}}$ σε μια γεωμετρική σειρά και την εφαρμογή του παραπάνω ολοκληρωτικού ορισμού (βλ. σειρά Λάιμπνιτς).

\arcsin(z)=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}\,;\qquad |z|\leq 1

\arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)={\frac {\pi }{2}}-\left(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\cdots \right)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}\,;\qquad |z|\leq 1

\arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq \mathrm {i} ,-\mathrm {i}

\operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)={\frac {\pi }{2}}-\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \right)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq \mathrm {i} ,-\mathrm {i}

\operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\left(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\cdots \right)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{-(2n+1)}}{4^{n}(2n+1)}}\,;\qquad |z|\geq 1

\operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{-(2n+1)}}{4^{n}(2n+1)}}\,;\qquad |z|\geq 1

2\arcsin ^{2}{\frac {x}{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}

^[5]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=2\ln ^{2}\varphi

, όπου

\varphi

είναι η χρυσή αναλογία.

Ο Λέοναρντ Όιλερ βρήκε μια πιο αποτελεσματική σειρά για το τόξο εφαπτομένης, η οποία είναι:

\arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}\,.

(Παρατηρήστε ότι ο όρος στο άθροισμα για n = 0 είναι το άδειο γινόμενο το οποίο είναι 1.)

Εναλλακτικά, αυτό μπορεί να εκφραστεί:

\arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}

Παραλλαγή: Συνεχή κλάσματα για το τόξο εφαπτομένης

Δύο εναλλακτικές για την δυναμοσειά για το τόξο εφαπτομένης είναι αυτά τα γενικευμένα συνεχή κλάσματα:

\arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}

Το δεύτερο από αυτά είναι έγκυρο σε τμήματα του μιγαδικού επιπέδου. Υπάρχουν δύο τμήματα, από το −i στο σημείο στο άπειρο, πηγαίνοντας προς τα κάτω στον φανταστικό άξονα, και από το i στο σημείο στο άπειρο, πηγαίνοντας προς τα πάνω στον ίδιο άξονα. Λειτουργεί καλύτερα για πραγματικούς αριθμούς που τρέχουν από το -1 στο 1. Οι μερικοί παρονομαστές είναι οι περιττοί φυσικοί αριθμοί, και οι μερικοί αριθμητές (μετά τον πρώτο) είναι απλά (nz)², με κάθε τέλειο τετράγωνο να εμφανίζεται μια φορά. Η πρώτη αναπτύχθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ η δεύτερη από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, αξιοποιώντας την υπεργεωμετρική σειρά Γκάους.

Αόριστα ολοκληρώματα των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Για πραγματικές και μιγαδικές τιμές του z:

{\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}

Για πραγματικό x ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}

Για όλους τους πραγματικούς x που δεν είναι μεταξύ -1 και 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\end{aligned}}

Η απόλυτη τιμή είναι αναγκαία για να αντισταθμίσει και τις αρνητικές και τις θετικές τιμές των συναρτήσεων arcsecant και arccosecant. Η συνάρτηση προσήμου είναι επίσης απαραίτητη λόγω των απολύτων τιμών στις παραγώγους των δύο συναρτήσεων, οι οποίες δημιουργούν δύο διαφορετικές λύσεις για θετικές και αρνητικές τιμές του x. Αυτές μπορούν να απλοποιηθούν περαιτέρω με την χρήση των λογαριθμικών ορισμών των αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}

Η απόλυτη τιμή στο όρισμα της συνάρτησης arcosh δημιουργεί ένα αρνητικό ήμισυ στο γράφημά της, καθιστώντας το πανομοιότυπο με την λογαριθμική συνάρτηση προσήμου που εμφανίζεται παραπάνω.

Όλες αυτές οι αντιπαράγωγοι (ή αλλιώς αόριστα ολοκληρώματα) μπορούν να προκύψουν χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά μέλη και τις απλές μορφές παραγώγων που εμφανίζονται παραπάνω.

Παράδειγμα

Χρησιμοποιώντας το $\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$ , θέτουμε

{\begin{aligned}u&{}=&\arcsin(x)&\quad \quad \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&{}=&{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&\quad \quad {}v=x\end{aligned}}

Τότε

\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x

Αντικαθιστούμε

w=1-x^{2}\,.

Στη συνέχεια

\mathrm {d} w=-2x\,\mathrm {d} x

και

\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {w}}}=-{\sqrt {w}}

Έπειτα αναιρούμε την αντικατάσταση για να εμφανίζεται και πάλι το x

\int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C

Επέκταση στο μιγαδικό επίπεδο

Καθώς οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι αναλυτικές συναρτήσεις, μπορούν να επεκταθούν από την πραγματική ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτό οδηγεί σε συναρτήσεις με πολλαπλά φύλλα και σημεία κλάδων. Ένας πιθανός τρόπος για τον καθορισμό των επεκτάσεων είναι:

\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}\quad z\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \,

όπου το τμήμα του φανταστικού άξονα που δεν βρίσκεται αυστηρά μεταξύ -i και +i είναι η τομή μεταξύ του κύριου φύλλου και άλλων φύλλων·

\arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1\,

όπου (η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας έχει την χάραξή της κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα και) το τμήμα του πραγματικού άξονα που δεν βρίσκεται αυστηρά μεταξύ -1 και +1 είναι η τομή μεταξύ του κύριου φύλλου το arcsin και άλλων φύλλων·

\arccos(z)={\frac {\mathrm {\pi } }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1\,

που έχει την ίδια χάραξη με το arcsin·

\operatorname {arccot}(z)={\frac {\mathrm {\pi } }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq \mathrm {-i,+i} \,

που έχει την ίδια χάραξη με το arctan·

\operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1\,

όπου το τμήμα του πραγματικού άξονα μεταξύ -1 και +1 περιεκτικά είναι η τομή μεταξύ του κύριου φύλλου του arcsec και άλλων φύλλων·

\operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1\,

που έχει την ίδια χάραξη με το arcsec

Λογαριθμική μορφές

Οι συναρτήσεις αυτές μπορούν επίσης να εκφράζονται χρησιμοποιώντας μιγαδικούς λογαρίθμους. Αυτό εκτείνεται με ένα φυσικό τρόπο το πεδίο ορισμού τους στο μιγαδικό επίπεδο.

{\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=\mathrm {-i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=\mathrm {-i} \ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}={\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-\mathrm {i} z\right)-\ln \left(1+\mathrm {i} z\right)\right]&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}={\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)-\ln \left(1+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)\right]&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=\mathrm {-i} \,\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}+{\frac {1}{z}}\right)=\mathrm {i} \,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=\mathrm {-i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}

Στοιχειώδεις αποδείξεις των σχέσεων αυτών προέρχονται μέσω επέκτασης σε εκθετικές μορφές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα απόδειξης

\sin(\phi )=z

\phi =\arcsin(z)

Χρησιμοποιώντας τον εκθετικό ορισμό του ημιτόνου, μπορεί κάποιος να λάβει

z={\frac {\mathrm {e} ^{\phi \mathrm {i} }-\mathrm {e} ^{-\phi \mathrm {i} }}{2\mathrm {i} }}

Έστω

\xi =\mathrm {e} ^{\phi \mathrm {i} }\,

Για την επίλυση ως προς $\phi$

z={\frac {\xi -{\frac {1}{\xi }}}{2\mathrm {i} }}

2\mathrm {i} z={\xi -{\frac {1}{\xi }}}

{\xi -2\mathrm {i} z-{\frac {1}{\xi }}}=0

\xi ^{2}-2\mathrm {i} \xi z-1\,=\,0

\xi =\mathrm {i} z\pm {\sqrt {1-z^{2}}}=\mathrm {e} ^{\phi \mathrm {i} }

\phi \mathrm {i} =\ln \left(\mathrm {i} z\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)

\phi =\mathrm {-i} \ln \left(\mathrm {i} z\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)

(ο θετικός κλάδος επιλέγεται)

\phi =\arcsin(z)=\mathrm {-i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις στο μιγαδικό επίπεδο

$\arcsin(z)$	$\arccos(z)$	$\arctan(z)$	$\operatorname {arccot}(z)$	$\operatorname {arcsec}(z)$	$\operatorname {arccsc}(z)$

Εφαρμογές

Γενικές λύσεις

Κάθε μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδική στο πραγματικό μέρος του ορίσματός της, διατρέχοντας όλες της τις τιμές δύο φορές σε κάθε διάστημα του 2 $π$ . Το ημίτονο και η συντέμνουσα αρχίζουν την περίοδό τους από το 2πk − π/2 (όπου k είναι ένας ακέραιος), την τελειώνουν στο 2 $π$ k + π/2, και μετά αντιστρέφονται από το 2 $π$ k + π/2 μέχρι το 2 $π$ k + 3π/2. Το συνημίτονο και η τέμνουσα αρχίζουν την περίοδό τους από το 2 $π$ k, την τελειώνουν στο 2 $π$ k + $π$ , και μετά αντιστρέφονται από το 2 $π$ k + $π$ μέχρι το 2 $π$ k + 2 $π$ . Η εφαπτομένη αρχίζει την περίοδό της από το 2 $π$ k − π/2, την τελειώνει στο 2 $π$ k + π/2, και μετά την επαναλαμβάνει (προς τα εμπρός) από το 2 $π$ k + π/2μέχρι το 2 $π$ k + 3π/2. Η συνεφαπτομένη αρχίζει την περίοδό της από το 2 $π$ k, την τελειώνει στο 2 $π$ k + $π$ , και μετά την επαναλαμβάνει (προς τα εμπρός) από το 2 $π$ k + $π$ μέχρι το 2 $π$ k + 2 $π$ .

Αυτή η περιοδικότητα αντικατοπτρίζεται στις γενικές αντίστροφες όπου k είναι κάποιος ακέραιος:

\sin(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=\arcsin(x)+2\mathrm {\pi } k\;{\text{ ή }}\;y=\mathrm {\pi } -\arcsin(x)+2\mathrm {\pi } k

Το οποίο, γραμμένο σε μια εξίσωση, είναι:

\sin(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\mathrm {\pi } k

\cos(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=\arccos(x)+2\mathrm {\pi } k\;{\text{ ή }}\;y=2\mathrm {\pi } -\arccos(x)+2\mathrm {\pi } k

Το οποίο, γραμμένο σε μια εξίσωση, είναι:

\cos(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=\pm \arccos(x)+2\mathrm {\pi } k

\tan(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=\arctan(x)+\mathrm {\pi } k

\cot(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=\operatorname {arccot}(x)+\mathrm {\pi } k

\sec(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=\operatorname {arcsec}(x)+2\mathrm {\pi } k{\text{ ή }}y=2\mathrm {\pi } -\operatorname {arcsec}(x)+2\mathrm {\pi } k

\csc(y)=x\;\Leftrightarrow \;y=\operatorname {arccsc}(x)+2\mathrm {\pi } k{\text{ or }}y=\mathrm {\pi } -\operatorname {arccsc}(x)+2\mathrm {\pi } k

Εφαρμογή: εύρεση της γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι χρήσιμες όταν προσπαθούμε να καθορίσουμε τις υπόλοιπες δύο γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου όταν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου είναι γνωστά. Υπενθυμίζοντας τον ορισμό του ημιτόνου, για παράδειγμα, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, προκύπτει ότι

\theta =\arcsin \left({\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}\right)

.

Συχνά, η υποτείνουσα είναι άγνωστη και θα πρέπει να υπολογιστεί πριν από την χρήση του τόξου ημιτόνου ή του τόξου συνημιτόνου, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ όπου $h$ είναι το μήκος της υποτείνουσας. Το τόξο εφαπτομένης έρχεται χρήσιμο σε αυτήν την περίπτωση, καθώς το μήκος της υποτείνουσας δεν είναι απαραίτητο.

\theta =\arctan \left({\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}}\right)

.

Στην επιστήμη των υπολογιστών και της εφαρμοσμένης μηχανικής

Παραλλαγή δύο ορισμάτων του τόξου εφαπτομένης

Η συνάρτηση atan2 με δύο ορίσματα υπολογίζει το τόξο εφαπτομένης του $y/x$ δεδομένων των $y$ και $x$ , αλλά με πεδίο ορισμού το $(-\pi ,\pi ]$ . Με άλλα λόγια, $\operatorname {atan2} (y,x)$ είναι η γωνία μεταξύ του θετικού άξονα $x$ του επιπέδου και του σημείου $(x,y)$ , με θετικό πρόσημο για αριστερόστροφες γωνίες (άνω μισό επίπεδο, $y>0$ ), και το αρνητικό πρόσημο για δεξιόστροφες γωνίες (κάτω μισό-επίπεδο, $y<0$ ). Αρχικά εισήχθη σε πολλές γλώσσες προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών, αλλά τώρα είναι επίσης κοινή σε άλλα πεδία της επιστήμης και της εφαρμοσμένης μηχανικής.

Όσον αφορά την πρότυπη συνάρτηση $\arctan$ που είναι με πεδίο ορισμού το $(-\pi /2,\pi /2)$ , μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&\quad x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\mathrm {\pi } &\quad y\geq 0\;,\;x<0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\mathrm {\pi } &\quad y<0\;,\;x<0\\{\frac {\mathrm {\pi } }{2}}&\quad y>0\;,\;x=0\\-{\frac {\mathrm {\pi } }{2}}&\quad y<0\;,\;x=0\\{\text{μη ορισμένο}}&\quad y=0\;,\;x=0\end{cases}}

Επίσης, ισούται με την κύρια τιμή του ορίσματος του μιγαδικού αριθμού x + iy.

Αυτή η συνάρτηση μπορεί επίσης να οριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο εφαπτομένης μισής γωνίας ως εξής:

\operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)

υπό την προϋπόθεση ότι είτε x > 0 ή y ≠ 0. Ωστόσο αυτό δεν γίνεται αν δοθεί x ≤ 0 και y = 0, οπότε η έκφραση είναι ακατάλληλη για υπολογιστική χρήση.

Το παραπάνω ζεύγος ορίσματος (y, x) φαίνεται να είναι το πιο σύνηθες, και ιδίως χρησιμοποιείται σε πρότυπα ISO, όπως η γλώσσα προγραμματισμού C, αλλά λίγοι συγγραφείς μπορεί να χρησιμοποιήσουν την αντίστροφη σύμβαση (x, y), οπότε απαιτείται προσοχή. Οι παραλλαγές αυτές περιγράφονται αναλυτικά στο atan2.

Συνάρτηση τόξου εφαπτομένης με παράμετρο τοποθεσίας

Σε πολλές εφαρμογές η λύση $y$ της εξίσωσης $x=\tan y$ είναι να έρθει όσο το δυνατόν πιο κοντά σε μια δεδομένη τιμή $-\infty <\eta <\infty$ . Η κατάλληλη λύση παράγεται από την παραμετρική τροποποιημένη συνάρτηση τόξου εφαπτομένης

y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\mathrm {\pi } \cdot \operatorname {rni} {\frac {\eta -\arctan(x)}{\mathrm {\pi } }}\,.

Η συνάρτηση $\operatorname {rni}$ στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο ακέραιο.

Αριθμητική ακρίβεια

Για γωνίες κοντά στο 0 και στο π, το τόξο συνημιτόνου είναι κακώς-ρυθμισμένο και, συνεπώς, θα υπολογίσει τη γωνία με μειωμένη ακρίβεια σε εφαρμογή σε υπολογιστή (λόγω του περιορισμένου αριθμού ψηφίων).^[6] Ομοίως, το τόξο ημιτόνου είναι ανακριβές για γωνίες κοντά στο $-\pi /2$ και στο $\pi /2$ . Για να επιτευχθεί η πλήρης ακρίβεια για όλες τις γωνίες, το τόξο εφαπτομένης ή την atan2 θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την εφαρμογή.^[6]

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Beach, Frederick Converse· Rines, George Edwin, επιμ. (1912). «Inverse trigonometric functions». The Americana: a universal reference library. 21.
↑ Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2η έκδοση). New York, USA: The Macmillan Company. σελ. 272.
↑ Herschel, John Frederick William (1813). «On a remarkable Application of Cotes's Theorem». Philosophical Transactions (Royal Society, London) 103 (1): 8. https://books.google.com/books?id=qpRJAAAAYAAJ&pg=PA8.
↑ Bhatti, Sanaullah· Nawab-ud-Din· Ahmed, Bashir· Yousuf, S. M.· Taheem, Allah Bukhsh (1999). «Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions». Στο: Ellahi, Mohammad Maqbool· Dar, Karamat Hussain· Hussain, Faheem. Calculus and Analytic Geometry (στα Αγγλικά) (1η έκδοση). Lahore: Punjab Textbook Board. σελ. 140.
↑ Borwein, Jonathan· Bailey, David· Gingersohn, Roland (2004). Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery (1η έκδοση). Wellesley, MA, USA: A. K. Peters. σελ. 51. ISBN 978-1-56881-136-9.
↑ ^6,0 ^6,1 Gade, Kenneth (2010). «A non-singular horizontal position representation» (PDF). The Journal of Navigation (Cambridge University Press) 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415. http://www.navlab.net/Publications/A_Nonsingular_Horizontal_Position_Representation.pdf.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Weisstein, Eric W., "Inverse Trigonometric Functions" από το MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Inverse Tangent" από το MathWorld.

[Americana_1912-1] Beach, Frederick Converse· Rines, George Edwin, επιμ. (1912). «Inverse trigonometric functions». The Americana: a universal reference library. 21.

[Cajori-2] Cajori, Florian (1919). A History of Mathematics (2η έκδοση). New York, USA: The Macmillan Company. σελ. 272.

[Herschel_1813-3] Herschel, John Frederick William (1813). «On a remarkable Application of Cotes's Theorem». Philosophical Transactions (Royal Society, London) 103 (1): 8. https://books.google.com/books?id=qpRJAAAAYAAJ&pg=PA8.

[Book-4] Bhatti, Sanaullah· Nawab-ud-Din· Ahmed, Bashir· Yousuf, S. M.· Taheem, Allah Bukhsh (1999). «Differentiation of Trigonometric, Logarithmic and Exponential Functions». Στο: Ellahi, Mohammad Maqbool· Dar, Karamat Hussain· Hussain, Faheem. Calculus and Analytic Geometry (στα Αγγλικά) (1η έκδοση). Lahore: Punjab Textbook Board. σελ. 140.

[Borwein_2004-5] Borwein, Jonathan· Bailey, David· Gingersohn, Roland (2004). Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery (1η έκδοση). Wellesley, MA, USA: A. K. Peters. σελ. 51. ISBN 978-1-56881-136-9.

[Gade-6] 6,0 ^6,1 Gade, Kenneth (2010). «A non-singular horizontal position representation» (PDF). The Journal of Navigation (Cambridge University Press) 63 (3): 395–417. doi:10.1017/S0373463309990415. http://www.navlab.net/Publications/A_Nonsingular_Horizontal_Position_Representation.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]