Εγγεγραμμένο τετράπλευρο
Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο ή κυκλικό αν οι κορυφές του , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του .[1]:111[2]:134[3]:38
Ιδιότητες
Επεξεργασία- Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.
Απόδειξη |
( ) Έστω ένα κυρτό εγγεγραμμένο τετράπλευρο, όπου ο περιγεγραμμένος του κύκλος έχει κέντρο και ακτίνα . Τότε, αφού τα , , και ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι
Επομένως, καταλήγουμε ότι το ανήκει στις μεσοκαθέτους των , , και . ( ) Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο . Τότε, έχουμε
και επομένως ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα διέρχεται από τα , , και . |
- Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή .
- Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.
Απόδειξη |
Η συνθήκη αυτή προκύπτει από την προηγούμενη, καθώς η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της εσωτερικής. |
- Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή .
- Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο , θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους , , και των τριγώνων , , και . Τότε ισχύει ότι
- Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, και
- (Ιαπωνικό θεώρημα) .
Εμβαδόν
ΕπεξεργασίαΤο εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με μήκη πλευρών δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)
- ,
όπου η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.
Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών , το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν.
Μετρικές σχέσεις
Επεξεργασία- (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ισχύει ότι[4][5]
- .
- (2o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ισχύει ότι
- .
- Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις
- και .
Απόδειξη |
Οι τύποι αυτοί προκύπτουν από το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου. Για παράδειγμα, από τον πολλαπλασιαμό των σχέσεων
και
λαμβάνουμε
που οδηγεί στον πρότο τύπο. |
- (Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα εγγεγραμμένο τεράπλευρο όπου το σημείο τομής των διαγωνίων του και , ισχύει ότι
- .
- Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο
- .
Απόδειξη |
Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου με πλευρές και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου
Τώρα στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο τον εφαρμόζουμε στα τρίγωνα και που έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι
Λύνοντας προς λαμβάνουμε
Τέλος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδόν του και τον τύπο για το μήκος της διαγωνίου λαμβάνουμε το ζητούμενο. |
- Για την γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύου ισχύει ότι
- ,
- όπου η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.
Ειδικές περιπτώσεις
Επεξεργασία- Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγραγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο παραλληλόγραμμο.
- Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο τραπέζιο.
Εφαρμογές
ΕπεξεργασίαΤα εγγεγραμμένα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:
- Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
- Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
- Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον
- Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
- Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
- Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
- ↑ Πάμφιλος, Πάρις (2012). Ελάσσον Γεωμετρικόν. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. ISBN 9789605243807.
- ↑ Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη.
- ↑ Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 49–51.
- ↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα,Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. σελίδες 187–188. ISBN 978-960-493-159-0.
- ↑ Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, σελ. 202, OCLC 429528983