Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

τετράπλευρο του οποίου οι τέσσερις κορυφές ανήκουν στον ίδιο κύκλο

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο ή κυκλικό αν οι κορυφές του , , και ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του .[1]:111[2]:134[3]:38

Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο .

Ιδιότητες

Επεξεργασία
Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου τέμνονται στο περίκεντρο.
Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή  .
Κάθε γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της, π.χ. η   είναι ίση με την εξωτερική της  .
Οι γωνίες είναι  .
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο   είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο   είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή  .
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο   είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή  .
 
Το   ορθογώνιο και  .
  • Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο  , θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους  ,  ,   και   των τριγώνων  ,  ,   και  . Τότε ισχύει ότι
    • Το τετράπλευρο   είναι ορθογώνιο, και
    • (Ιαπωνικό θεώρημα)  .

Το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου   με μήκη πλευρών   δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)

 ,

όπου   η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών  , το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν.

Μετρικές σχέσεις

Επεξεργασία
 .
 .
  • Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο   τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις
  και  .
  • (Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα εγγεγραμμένο τεράπλευρο   όπου   το σημείο τομής των διαγωνίων του   και  , ισχύει ότι
 .
  • Η ακτίνα   του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο
 .
  • Για την γωνία   ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύου   ισχύει ότι

[6]

 
 
 ,
όπου   η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδικές περιπτώσεις

Επεξεργασία

Εφαρμογές

Επεξεργασία

Τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
  2. Πάμφιλος, Πάρις (2012). Ελάσσον Γεωμετρικόν. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. ISBN 9789605243807. 
  3. Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη. 
  4. Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 49–51. 
  5. Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα,Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. σελίδες 187–188. ISBN 978-960-493-159-0. 
  6. Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, σελ. 202, OCLC 429528983